第55讲空间点、直线、平面之间的位置关系夯实基础【p126】【学习目标】1．掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系．2．掌握点、线、面关系的文字语言、符号语言、图形语言的密切联系及相互转化．3．掌握空间两条直线的位置关系的证明，并能够判定两条直线的异面关系，会求两条异面直线所成的角．【基础检测】1．若a⊂α，b⊂β，α∩β＝c，a∩b＝M，则()A．M∈cB．M∉cC．M⊂cD．M⊂β【解析】因为a∩b＝M，所以M∈a，M∈b，又a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β，即M是平面α，β的公共点，因为α∩β＝c，所以M∈c.【答案】A2．下列说法错误的是()A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行【解析】对于D：一个等腰三角形的底边放在桌面上，两个腰与桌面所成的角相等，但两腰所在直线不平行．【答案】D3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知E是棱C1D1的中点，则异面直线B1D1与CE所成角的余弦值是()A.B.C.D.【解析】取B1C1的中点为F，连接EF，CF， 点E、F分别为C1D1与B1C1的中点，∴EF∥B1D1，∴∠CEF(或其补角)就是异面直线B1D1与CE所成角．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，所以在△CEF中，EF＝a，CF＝CE＝a，根据余弦定理可得：cos∠CEF＝＝.【答案】D4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AC1与BB1所成的角为30°，则AA1＝()A.B．3C.D.【解析】如图所示，连结AC，由于BB1∥CC1，故∠AC1C为直线AC1与BB1所成的角，即∠AC1C＝30°，在Rt△ACC1中，CC1＝＝＝，由长方体的几何特征可得AA1＝CC1＝.【答案】D5．以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0B．1C．2D．3【解析】①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数为1.【答案】B【知识要点】1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内．(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)确定平面的条件：①__不共线的三点__可确定一个平面．②一条直线和__其外__一点可确定一个平面．③两条__相交或平行__直线可确定一个平面．(4)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个公共点的公共直线．2．空间两直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的__锐角(或直角)__叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：____．3．平行公理平行于同__一条直线的__两条直线互相平行．典例剖析【p126】考点1平面的基本性质及应用如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．【解析】(1)如图，连接EF，CD1，A1B. E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2) EF∥CD1，EF
