第2课时基本不等式的应用INCLUDEPICTURE"课后作业.tif"\*MERGEFORMATA级基础巩固一、选择题1．下列命题正确的是()A．函数y＝x＋的最小值为2B．若a，b∈R且ab>0，则＋≥2C．函数＋的最小值为2D．函数y＝2－3x－的最小值为2－4解析：A错误，当x<0时或x≠1时不成立；B正确，因为ab>0，所以>0，>0，且＋≥2；C错误，若运用基本不等式，需()2＝1，x2＝－1无实数解；D错误，y＝2－(3x＋)≤2－4.答案：B2．已知x≥，则f(x)＝有()A．最大值B．最小值C．最大值1D．最小值1答案：D3．已知a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为()A．6B．4C．2D．2解析：2a＋2b≥2＝4.答案：B4．若00，所以x＝×2x≤×＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立．答案：C5．已知不等式(x＋y)≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．1B．2C．4D．－6解析：(x＋y)＝4＋a＋，因为x>0，y>0，a>0，所以＋≥2＝4，当且仅当＝时取等号．由已知可得4＋a＋4≥16，即a＋4－12≥0，解得≥2或≤－6(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.答案：C二、填空题6．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．解析：因为x>0，a>0，所以f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝时，等号成立，1此时a＝4x2，因为x＝3时函数取得最小值，所以a＝4×9＝36.答案：367．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．解析：因为a，b为正数，所以ab＝a＋b＋3≥2＋3，所以(－3)(＋1)≥0，所以≥3，所以ab≥9.答案：[9，＋∞)8．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________．解析：x＋≥a恒成立⇔≥a，因为x＞1，即x－1＞0，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．所以a≤3，即a的最大值为3.答案：3三、解答题9．已知x，y>0，且x＋2y＋xy＝30，求xy的范围．解：因为x，y是正实数，故30＝x＋2y＋xy≥2＋xy，当且仅当x＝2y，即x＝6，y＝3时，等号成立．所以xy＋2－30≤0.令＝t，则t>0，得t2＋2t－30≤0，解得－5≤t≤3.又t>0，知0<≤3，即xy的范围是(0，18]．10．已知x，y是正实数，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求＋的最小值．解：(1)因为x>0，y>0，所以由基本不等式，得≥＝.因为2x＋5y＝20，所以≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.所以u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.所以当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2)因为x>0，y>0，所以＋＝·＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立．由解得所以＋的最小值为.B级能力提升1．某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为400平方米的三级污水处理池，如图所示，池外圈造价为每米200元，中间两条隔墙造价为每米250元，池底造价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．若使水池的总造价最低，那么污水池的长和宽分别为()2A.40米，10米B．20米，20米C．30米，米D．50米，8米解析：设总造价为y元，污水池的长为x米，则宽为米，总造价y＝·200＋2×250·＋80×400＝400·＋32000≥400×2＋32000＝56000(元)，当且仅当x＝，即x＝30时等号成立，此时污水池的宽为米．答案：C2．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n＞0，则＋的最小值为________．解析：函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，且点A在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，m，n＞0，所以＋＝·(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当即时等号成立．答案：83.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽约为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米．(1)试用x表示S.(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．解：(1)由图形知，3a＋6＝x，所以a＝.则总面积S＝·a＋2a·＝a＝·＝1832－，即S＝1832－(x＞0)．(2)由S＝1832－，得S≤1832－2＝1832－2×240＝1352.当且仅当＝，即x＝45时等号成立．即当x为45米时，S最大，且S最大值为1352平方米．34
