四种命题间的相互关系A级基础巩固一、选择题1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析：由于一个命题的否命题既否定条件又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．答案：A2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b解析：原命题的条件是a＝－b，作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|＝|b|，作为逆命题的条件，即得逆命题，“若|a|＝|b|，则a＝－b”．答案：D3．命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是()A．若α≠，则tanα≠1B．若α＝，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α＝解析：因为“若p，则q”的逆否命题为“若¬q，则¬p”，所以“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”．答案：C14．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题；其中真命题为()A．①②B．②③C．①③D．③④解析：①逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题；②否命题为“不全等的三角形面积不等”，为假命题；③当q≤1时，Δ＝4－4q≥0，方程有实根，为真命题，故逆否命题为真命题；④逆命题为“若三角形三个内角相等，则三角形是不等边三角形”，为假命题．答案：C5．与命题“在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”为互逆命题的是()A．在等差数列{an}中，若m＋n≠p＋q，则am＋an≠ap＋aqB．在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋qC．在等差数列{an}中，若am＋an≠ap＋aq，则m＋n≠p＋qD．在等差数列{an}中，若m＋n≠p＋q，则am＋an＝ap＋aq答案：B二、填空题6．命题“若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形”的逆否命题为________(填“真命题”或“假命题”)．解析：逆否命题：“若△ABC不是等腰三角形，则AB≠AC”，为真命题．答案：真命题7．下列命题：①若x≠0，则x＋≥2；②命题“若x2＝1，则x＝1或x＝－1”的逆否命题；③若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0.2其中是真命题的为________(填序号)．答案：②③8．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．其中真命题的序号为________．解析：对各个命题逐一进行判断，得出结论．对于命题①，设球的半径为R，则π＝·πR3，故体积缩小到原来的，为真命题；对于命题②，若两组数据的平均数相同，它们的标准差不一定相同，例如数据1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，为假命题；对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0，0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，为真命题．答案：①③三、解答题9．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．解：(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．(2)命题p的否命题是真命题．证明：因为ac<0⇒－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根，所以该命题是真命题．10．写出命题“当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：原命题：若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0.是真命题．逆命题：若a＝0或b＝0或c＝0，则abc＝0.是真命题．否命题：若abc≠0，则a≠0且b≠0且c≠0.是真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0.是真命题．B级能力提升31．原命题为“若
