离散型随机变量的均值VIP专享VIP免费

按3：2：1的比例混合，混合糖果中每一粒糖果的质量都相等问题1：混合后，每1kg糖果的平均价格为多少？问题2：若在混合糖果中任取一粒糖果，用随机变量X表示这颗糖果的单价（元/kg），写出X的分布列。18kg元24kg元36kg元P362418X61263618×P（=18）+24×P（=24）+36×P（=36）XXX1、离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：1122()iinnEXxpxpxpxp则称为随机变量X的均值或数学期望。P1xix2x······1p2pip······nxnpX探究新知：它反映了离散型随机变量取值的平均水平。探究：设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则•Y的分布列是什么？(2)E(Y)=？探究新知：解：设离散型随机变量X的概率分布列为X……P……ip2x2pnpix1x1pnxY……P……()(),1,2,3iiPYaxbPXxin而所以Y的分布列为1axb1p2axb2pipiaxbnpnaxb设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量。(2)E(Y)=？ E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn∴E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…+pn)＝aE(X)＋b．即E(aX＋b)＝aE(X)＋bax1+bax2+b探究新知：Xx1x2…xi…xnY……Pp1p2…pi…pn若Y=aX+b,则E(Y）=aE(X)+baxi+baxn+b例1.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分。如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？解：依题意，P(X=1)=0.7，P(X=0)=0.3，∴E(X)=1×P(X=1)＋0×P(X=0)=1×0.7＋0×0.3=0.7一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=1×p+0×(1-p)=p于是有若X服从两点分布，则E(X)=pX10P0.70.3则X的分布列为：例题分析：p1-p1-ppp例2.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分。如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球2次的得分X的均值是多少？解：X的可能取值为0，1，2例题分析：002200.70.30.09PXC111210.70.30.42PXC220220.70.30.49PXC∴该运动员得分的期望为00.0910.4220.491.4EX思考：你能找出该期望值1.4与这个二项分布X~B(2，0.7)之间的规律吗？2×0.7=1.4X~B(2，0.7)例3.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分。如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球3次的得分X的均值是多少？解：由题意可知，X~B(3，0.7)例题分析：300.30.027PX12310.70.30.189PXC22320.70.30.441PXC∴该运动员得分的期望为00.02710.18920.44130.3432.1EX思考：你能找出该期望值2.1与这个二项分布X~B(3，0.7)之间的规律吗？3×0.7=2.1330.70.343PX二项分布的数学期望：001112220()012nnnnnnkknknnnnEXCpqCpqCpqkCpqnCpq0111221111101()nnkknknnnnnnEXnCpqnCpqnCpqnCpq001112111111101()nnkknknnnnnnnpCpqCpqCpqCpq………Pnk…10X00nnCpq111nnCpqkknknCpq0nnnCpq=np(p+q)n-1=np若X～B(n，p)，则E(X)＝np11!(1)!!!1!11!kknnnnnkCknCknkknk解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择了正确答案的选择题个数分别是X1和X2，则X1～B(20，0.9)，X2～B(20，0.25)，所以E(X1)=20×0.9＝18，E(X2)＝20×0.25＝5由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2．所以，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5X1)＝5E(X1)＝5×18＝90，E(5X2)＝5E(X2)＝5×5＝25例4.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确。每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分。学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值。例题分析：思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分。3.常用分布的均值：(1)若X服从两点分布，则E(X)=p；(2)若X～B(n，p)，则E(X)=np...