taoti.tl100.com你的首选资源互助社区典型例题一例1简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线a平面，直线Aab，则b和的位置关系如何？（2）直线a，直线ab//，则直线b和的位置关系如何？分析：（1）由图（1）可知：b或Ab；（2）由图（2）可知：//b或b．说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法．典型例题二例2P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：//PC平面BDQ．分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．证明：如图所示，连结AC，交BD于点O， 四边形ABCD是平行四边形∴COAO，连结OQ，则OQ在平面BDQ内，且OQ是APC的中位线，∴OQPC//． PC在平面BDQ外，∴//PC平面BDQ．说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．典型例题三例3经过两条异面直线a，b之外的一点P，可以作几个平面都与a，b平行？并证明你的结论．分析：可考虑P点的不同位置分两种情况讨论．taoti.tl100.com你的首选资源互助社区解：（1）当P点所在位置使得a，P（或b，P）本身确定的平面平行于b（或a）时，过P点再作不出与a，b都平行的平面；（2）当P点所在位置a，P（或b，P）本身确定的平面与b（或a）不平行时，可过点P作aa//，bb//．由于a，b异面，则a，b不重合且相交于P．由于Pba，a，b确定的平面，则由线面平行判定定理知：//a，//b．可作一个平面都与a，b平行．故应作“0个或1个”平面．说明：本题解答容易忽视对P点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论．典型例题四例4平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．已知：直线ba//，//a平面，b．求证：//b．证明：如图所示，过a及平面内一点A作平面．设c， //a，∴ca//．又 ba//，∴cb//． b，c，∴//b．说明：根据判定定理，只要在内找一条直线bc//，根据条件//a，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a作平面与相交，我们常把平面称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化．和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．典型例题五例5已知四面体ABCS的所有棱长均为a．求：（1）异面直线ABSC、的公垂线段EF及EF的长；（2）异面直线EF和SA所成的角．分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线ABSC、的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．解：（1）如图，分别取ABSC、的中点FE、，连结CFSF、．由已知，得SAB≌CAB．∴CFSF，E是SC的中点，∴SCEF．同理可证ABEFtaoti.tl100.com你的首选资源互助社区∴EF是ABSC、的公垂线段．在SEFRt中，aSF23，aSE21．∴22SESFEFaaa22414322．（2）取AC的中点G，连结EG，则SAEG//．∴EF和GE所成的锐角或直角就是异面直线EF和SA所成的角．连结FG，在EFGRt中，aEG21，aGF21，aEF22．由余弦定理，得22222124142412cos222222aaaaaEFEGGFEFEGGEF．∴45GEF．故异面直线EF和SA所成的角为45．说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．典型例题六例6如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内．已知：直线//a，B，bB，ab//．求证：b．分析：由于过点B与a平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面外，不存在过B与...
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