第1页专题训练(一)分式求值的七种技巧?技巧一整体代入1．先化简，再求值：x2－3x－1－2÷1x－1，其中x满足x2－2x－3＝0.2．已知1x－1y＝3，求2x＋3xy－2yx－2xy－y的值．3．若a2＋b2＝3ab，求式子(1＋2b2a2－b2)(1＋2ba－b)的值．4．已知a2－2019a＋1＝0，求2a2－4039a＋1－2019a2＋1的值．?技巧二构造代入5．已知x＋y＝12，xy＝9，则x2＋3xy＋y2x2y＋xy2的值等于()A.1712B.79C.1781D.1796．已知x2－5x－2019＝0，求（x－2）3－（x－1）2＋1x－2的值．7．已知a，b，c不等于0，且a＋b＋c＝0，求a(1b＋1c)＋b(1a＋1c)＋c(1a＋1b)的值．8．若ab＝1，求11＋a2＋11＋b2的值．?技巧三设参法9．已知x2＝y3＝z4，求xy＋yz＋zxx2＋y2＋z2的值．?技巧四逆用乘法公式法10．已知x2－3x＋1＝0，求x2＋1x2的值．?技巧五倒数法11．已知x＋1x＝4，求x2x4＋x2＋1的值．第2页12．若xx2－3x＋1＝2，求分式x2x4＋x2＋1的值．?技巧六裂项相消法13．先化简，再求值：1x（x＋1）＋2（x＋1）（x＋3）＋3（x＋3）（x＋6），其中x＝1.?技巧七分类讨论法14．设a＋b＋c＝0，abc＞0，则b＋c|a|＋c＋a|b|＋a＋b|c|的值是()A．－3B．1C．3或－1D．－3或1详解详析1．[解析]本题可以按照分式的运算顺序，先算括号里面的，也可利用乘法分配律进行化简，在求值时可利用整体代入法．解：方法一：原式＝x2－3x－1－2·(x－1)＝x2－3x－1·(x－1)－2(x－1)＝x2－2x－1.由x2－2x－3＝0，得x2－2x＝3，∴原式＝3－1＝2.方法二：原式＝x2－3x－1－2·(x－1)＝x2－3－2（x－1）x－1·(x－1)＝x2－2x－1.由x2－2x－3＝0，得x2－2x＝3，∴原式＝3－1＝2.[点评]本题中x的值不是直接给出的，而是给出条件：x满足x2－2x－3＝0，通过整体代入的方法使计算过程简单化．2．解：方法一：因为xy≠0，所以把待求式的分子、分母同除以xy，得2x＋3xy－2yx－2xy－y＝2y＋3－2x1y－2－1x＝3－2（1x－1y）－2－（1x－1y）＝3－2×3－2－3＝35.第3页方法二：∵1x－1y＝3，∴y－xxy＝3，∴x－y＝－3xy.∴2x＋3xy－2yx－2xy－y＝2（x－y）＋3xy（x－y）－2xy＝2·（－3xy）＋3xy－3xy－2xy＝－3xy－5xy＝35.3．解：原式＝a2－b2＋2b2a2－b2·a－b＋2ba－b＝a2＋b2a2－b2·a＋ba－b＝a2＋b2a2－2ab＋b2.因为a2＋b2＝3ab，所以原式＝3ab3ab－2ab＝3.4．[导学号：50512517][解析]采用整体代换思想，先根据a2－2019a＋1＝0可知，a2＝2019a－1，再代入所求代数式进行计算即可．解：∵a2－2019a＋1＝0，∴a2＝2019a－1，a2＋1＝2019a，∴a＋1a＝2019.∴原式＝2(a2－2019a)＋1－a－20192019a＝－2＋1－a－1a＝－2＋1－(a＋1a)＝－1－2019＝－2020.5．[解析]A把所求式子的分子配方变为x＋y与xy的关系式，分母提取xy也变为xy与x＋y的关系式，然后把已知的x＋y与xy的值代入即可求出值．∵x＋y＝12，xy＝9，∴x2＋3xy＋y2x2y＋xy2＝（x＋y）2－2xy＋3xyxy（x＋y）＝（x＋y）2＋xyxy（x＋y）＝122＋99×12＝1712.故选A.6．解：（x－2）3－（x－1）2＋1x－2＝（x－2）3－（x－1＋1）（x－1－1）x－2＝（x－2）3－x（x－2）x－2＝(x－2)2－x＝x2－5x＋4.因为x2－5x－2019＝0，所以原式＝2019＋4＝2022.第4页7．解：a(1b＋1c)＋b(1a＋1c)＋c(1a＋1b)＝a(1a＋1b＋1c)＋b(1a＋1b＋1c)＋c(1a＋1b＋1c)－3＝(1a＋1b＋1c)(a＋b＋c)－3＝0－3＝－3.8．解：11＋a2＋11＋b2＝bb＋a2b＋aa＋ab2.因为ab＝1，所以原式＝bb＋a＋aa＋b＝a＋ba＋b＝1.9．解：设x2＝y3＝z4＝k(k≠0)，则x＝2k，y＝3k，z＝4k.所以xy＋yz＋zxx2＋y2＋z2＝6k2＋12k2＋8k24k2＋9k2＋16k2＝26k229k2＝2629.10．解：由x2－3x＋1＝0，两边同除以x(x≠0)，得x－3＋1x＝0，即x＋1x＝3，所以x2＋1x2＝(x＋1x)2－2＝32－2＝7.11．解：因为x4＋x2＋1x2＝x2＋1＋1x2＝(x＋1x)2－2＋1＝42－2＋1＝15，所以x2x4＋x2＋1＝115.12．解：因为xx2－3x＋1＝2，所以x＋1x＝72，所以x4＋x2＋1x2＝x2＋1＋1x2＝(x＋1x)2－2＋1＝(72)2－2＋1＝454，所以x2x4＋x2＋1＝445.13．解：原式＝(1x－1x＋1)＋22(1x＋1－1x＋3)＋33(1x＋3－1x＋6)第5页＝1x－1x＋6＝6x（x＋6）.当x＝1时，原式＝67.14．[导学号：50512518][解析]B∵a＋b＋c＝0，abc＞0，∴a，b，c中两负一正，且b＋c＝－a，c＋a＝－b，a＋b＝－c，∴b＋c|a|＋c＋a|b|＋a＋b|c|＝－a|a|＋－b|b|＋－c|c|.而当a＞0时，－a|a|＝－1，当a＜0时，－a|a|＝1，∴－a|a|，－b|b|，－c|c|的结果中有两个1，一个－1，∴b＋c|a|＋c＋a|b|＋a＋b|c|的值是1.故选B.
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