第一章数与计算第一单元同余问题1．知识前提。（1）整除：如果整数a除以自然数b,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是0),我们就称a能被b整除或b能整除a。（2）乘方的意义：求n个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。n个相同因数a相乘，即，记做。其中a叫做底，n叫做指数，读做a的n次方。（3）幂的运算法则：①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。即。②幂的乘方，底数不变，指数相乘。即。③积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即。2．同余如果两个整数的a、b除以同一个自然数m所得的余数相同，那么就说a、b对于m是同余的，记为a=h（modm）。我们把m称为模。如果a、b对于m是同余的，那么a与b的差能被m整除；反之，如果a与b的差能被M整除，那么a、b对于m是同余的。3．规律、方法应用。（1）反身性规律：a和a对于m同余。（2）对称性规律：a和b对于m同余，那么b和a对于m同余。（3）传递性规律：如果a和b对于m同余，b和c对于m同余，那么a和c对于m同余。（4）同余的加减法、乘法规律：如果a和b对于m同余，c和d对于m同余，那么a＋c，和b＋d，a－c和b－d，ac和bd对于m同余。（5）同余的乘方规律：如果a和b对于m同余，那么和也对于m同余。（6）同余的连加规律：和对于m同余，和对于m同余，和对于m同余……和对于m同余，那么和也对于m同余。例1．有一个不等于1的整数，它除300，262，205得到的余数相同，这个整数是多少？拓展一如果某数除492,2241,3195都余15,那么这个数是几?拓展二自然数16520,14903,14177除以m的余数相同,m的最大值是多少?拓展三若2836,4582,5164,6522这4个数被同一个数相除,所得的余数相同且为两位数,则除数和余数的和为多少?例2．求除以7的余数。拓展一求除以13的余数。拓展二求除以11的余数。拓展三求的结果除以3的余数。拓展四把1至2002这2002个自然数依次写下来，得到一个试求A除以9的余数。例3．被7除的余数是多少？拓展一除以13的余数是多少？拓展二今天是星期日，过天是星期几？拓展三求的末两位数是多少？拓展四（1）2005年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2005年1月1日是星期六）（2）2008年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2008年1月1日是星期二）检测1．已知69,90,125被Ｎ除余数相同，求81被N除的余数是（）Ａ．４Ｂ．７Ｃ．５Ｄ．２２．1991和1769除以某一个自然数n,余数分别为2和1,n的最小值是()Ａ．23Ｂ．13Ｃ．17Ｄ．183．除以13的余数是（）Ａ．12Ｂ．11Ｃ．9Ｄ．74．除以3所得的余数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．0Ｄ．35．今天是星期二，再过天是星期（）Ａ．三Ｂ．四Ｃ．五Ｄ．六6．的个位数字是（）Ａ．3Ｂ．2Ｃ．4Ｄ．67．的个位数字是（）Ａ．3Ｂ．1Ｃ．9Ｄ．68．的个位数字是（）Ａ．3Ｂ．1Ｃ．9Ｄ．59．在小于2002的自然数中，被18及33除以余数相同的数有（）个。Ａ．17Ｂ．198Ｃ．34Ｄ．5110．一个三位数，它的29倍加上5能被2002整除，这个三位数是（）。Ａ．345Ｂ．121Ｃ．150Ｄ．26711．一个整数乘以13后，积的最后三位数是123，这样的整数最小是（）。Ａ．157Ｂ．253Ｃ．942Ｄ．47112．用1，9，8，8这四个数能排出（）个被11除余8的四位数。Ａ．3Ｂ．4Ｃ．5Ｄ．613．的积被7除的余数是（）。Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．5二．解答题。14．试证明：能被10整除。15．求乘积除以13所得的余数。16．今天是星期五，再过天是星期几？17．求除以39所得的余数。18．求的个位数字。19．除以13余几？20．试证明：是5的倍数。21．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…，问最右边的一个数被6除余几？22．2002年全年有几个星期日？全年有几个月有5个星期日？（2002年1月1日是星期二）23．某年的10月有五个星期六，4个星期日，这年的10月1日是星期几？24．甲、乙两人轮流报数，必须报不大于2的自然数（零除外），把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是20，谁就获胜，如甲要取胜，是先报还是后报？以后怎样报？25．设A是一个有35位循环节的循环小数，把A的所有奇数位画去，得到一个新的无限小...
