第三讲鸡兔同笼问题知识导航你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗？这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）。显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了。这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。古人常用的这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。今天我们将给大家介另外一种求解“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”！例题精讲【例1】（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？分析：假设46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多4-2=2（只）脚，那么56只脚是我们把56÷2=28只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。我们称这种解题的方法为“假设法”。它是一种重要的解题思路。当然，这里我们也可以假设46只全是鸡，小朋友们，请你按此思路做做这道题目！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法。【例2】某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？分析：如果30间都是小宿舍，那么只能住4×30=120人，而实际上住了168人．大宿舍比小宿舍每间多住6-4=2人，所以大宿舍有(168-120)÷2=24间。【例3】100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人?分析：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300—140=160(个)。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3—1=2(个)，因为160÷2=80，故小和尚有80人，大和尚有100—80=20(人)。同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。【例4】刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？分析：假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐6×10=60（人）。假设后的总人数比实际人数多了60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。所以有9条小船，1条大船。【例5】松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个.它一连几天采了112个松果，平均每天采14个.问这几天中有几个雨天？分析：因松鼠妈妈共采松果112个，平均每天采14个，所以实际用了112÷14＝8（天）.假设这8天全是晴天，松鼠妈妈应采松果20×8＝160（个），比实际采的多了160－112＝48（个），因雨天比晴天少采20－12＝8（个），所以共有雨天48÷8＝6（天）.【例6】鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只?分析：这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200—20=180(只)。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只)，而180÷6=30，因此有兔子30只，鸡100—30=70(只)...
