********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星01质数那些事阅读与思考一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：1单位正整数质数合数关于质数、合数有下列重要性质：1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4．2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．3．若质数p|ab，则必有p|a或p|b．4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成k个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：N=1212kaaakPPP，其中12kPPP，iP为质数，ia为非负数(i=1，2，3，⋯，k)．正整数N的正约数的个数为(1＋1a)(1＋1a)⋯(1＋1a)，所有正约数的和为(1＋1P＋⋯＋11aP)(1＋2P＋⋯＋22aP)⋯(1＋kP＋⋯＋kakP)．例题与求解【例1】已知三个质数a，b，c满足a＋b＋c＋abc=99，那么abbcca的值********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星等于_________________．(江苏省竞赛试题)解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出a，b，c的值．【例2】若p为质数，3p＋5仍为质数，则5p＋7为()A．质数B．可为质数，也可为合数C．合数D．既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题)解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．(上海市竞赛试题)解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星【例4】⑴将1，2，⋯，2004这2004个数随意排成一行，得到一个数n，求证：n一定是合数．⑵若n是大于2的正整数，求证：2n－1与2n＋1中至多有一个质数．⑶求360的所有正约数的倒数和．(江苏省竞赛试题)解题思想：⑴将1到2004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明2n－1与2n＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．【例5】设x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，并且112xyp，求x＋y的值．解题思想：由题意变形得出p整除x或y，不妨设xtp．由质数的定义得到2t－1=1或2t－1=p．由x≠y及2t－1为质数即可得出结论．********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，⋯都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．(青少年国际城市邀请赛试题)解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．能力训练A级1．若a，b，c，d为整数，2222abcd=1997，则2222abcd=________．2．在1，2，3，⋯，n这个n自然数中，已知共有p个质数，q个合数，k个奇数，m个偶数，则(q－m)＋(p－k)=__________．3．设a，b为自然数，满足1176a=3b，则a的最小值为__________．********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星(“希望杯”邀请赛试题)4．已知p是质数，并且6p＋3也是质数，则11p－48的值为____________．(北京市竞赛试题)5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是()A．4B．8C．12D．06．在2005，2007，2009这三个数中，质数有()A．0个B．1个C．2个D．3个(“希望杯”邀请赛试题)7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有()A．1个B．3个C．5个D．6个(“希望杯”邀请赛试题)8．设p，q，r都是质数，并且p＋q=r，p
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