1.5.2二项式系数的性质及应用VIP专享VIP免费

1.5.2二项式系数的性质及应用.nab探究计算展开式的二项式系数并填入下表?,你发现了什么规律通过计算填表654321nnab展开式的二项式系数,.?,:从上表可以发现每一行中的系数具有对称性除此之外还有什么规律呢为了方便可将上表写成如下形式1615201561ba15101051ba14641ba1331ba121ba11ba654321?探究你能借助上面的表现形式发现一些新的规律吗二项式系数的性质(a+b)1……………………11(a+b)2…………………121(a+b)3………………1331(a+b)4……………14641(a+b)5……………15101051(a+b)6…………1615201561………………………rnrnrnCCC11mnnmnCC十五一一一一一一一二十六六十五一一一一一一二三三四四六五十十五本积商除平方立方三乘四乘五乘左积右积之除而实命方商乘廉以廉皆者藏中算隅乃裘右数积乃裘左1图,1261,,(1).值得指出的是这个表在我国南宋数学家杨辉在年所著的《详解九章算法》一书里就出现了所不同的只是这里的表用阿拉伯数字表示在这本书里记载的是用汉字表示的形式图-,,"",,(11).11,,(BlaisePascal,1623---1662),.,,这个表称为杨辉三角在《详解九章算法》一书里还说明了表里一以外的每一个数都等于它肩上两个数的和杨辉指出这个方法出于《释锁算书》且我国北宋数学家贾宪约公元世纪已经用过它这表明我国发现这个表不晚于世纪在欧洲这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的他们把这个表叫做帕斯卡三角这就是说杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的2468101214161820369f(r)Orf(r)=r6C2468101214161820369f(r)Or2224262830323436f(r)=r7Cn=6时n=7时012,,,,,.,0,1,2,,.,.nnnnnnrnabCCCCCrfrnn对于展开式的二项式系数我们还可以从函数角度来分析它们可看成是以为自变量的函数其定义域是对于确定的我们还可以画出它的图象1.对称性展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。2.增减性与最大值3.各二项式系数和nnnnnnCCCC2102二项式系数先增大后减小，中间取得最大值。2nnC当n是偶数时，中间的一项取得最大值；21nnC21nnC当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值。实践1：写出在（a-b)7的展开式中，二项式系数最大的项？对比：写出在（a-b)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？3437C4baT43475CbaT系数最大系数最小在(a+b)12的展开式中，与第二项的二项式系数相等的是第几项？实践2：在(a+b)12的展开式中，与第五项的二项式系数相等的是第几项？拓展：在（1-x)20的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值？2r204r20CC1-2r201-4r20CC4r-1=r+1r=2/3(舍)4r-1+r+1=20r=4例1证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.131202nnnnnCCCC0122rnnnnnnnCCCCC典型例题典型例题1008例：今天是星期四，那么天后的这一天2是星期几？例3设(1-2x)5=a0＋a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.求：（1）a1+a2+a3+a4+a5的值；（2）a1+a3+a5的值；（3）|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值.练习：校本教材《学与练》P32例1课堂小结：（1）结合杨辉三角学习了二项式系数的性质（2）初步了解如何用赋值法解决二项式系数的相关问题（3）初步了解整除问题的处理方案