3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义运算是“数”的最主要的功能，复数不同于实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体，它如何进行运算呢？我们就来看一下最简单的复数运算——复数的加、减法．引入随着生产发展的需要，我们将数的范围扩展到了复数实部虚部iab1.复数代数形式的加、减运算法则.（重点）2.复数代数形式的加、减运算律.（难点）3.复数代数形式的加、减运算的几何意义.我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：a+b=b+aab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a(b+c)=ab+ac那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？探究点1复数的加法1.复数代数形式的加法我们规定，复数的加法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.说明:（1）复数的加法运算法则是一种规定.当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致;（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.2.设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.（1）因为z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,所以z1+z2=z2+z1探究点2复数的加法满足交换律、结合律（2）因为(z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,所以(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)所以，对任意z1，z2，z3C,有z1+z2=z2+z1（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）探究点3复数与复平面内的向量有一一对应关系我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？OZ1(a,b)Z2(c,d)Zxy设,分别与复数a+bi,c+di对应1O�Z2O�Z1O�Z2O�Z=（a,b），=(c,d)1O�Z2O�Z+=（a+c,b+d）O�Z=(a+c)+(b+d)i复数的加法可以按照向量的加法来进行xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z1+z2=OZ1+OZ2=OZ符合向量加法的平行四边形法则.3.复数加法运算的几何意义探究点4复数的减法类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义，有c+x=a,d+y=b,因此x=a-c,y=b-d,所以x+yi=(a-c)+(b-d)i,即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.4.复数的减法(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i说明：两个复数的差是一个确定的复数.xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2－z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则.探究点5.复数减法运算的几何意义|z1-z2|表示什么?表示复平面上两点Z1,Z2的距离例1计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=（5-2-3）+（-6-1-4）i=-11i例2计算(1－3i)+(2+5i)+(-4+9i).解：原式=（1+2-4）+（-3+5+9）i=-1+11i例32.复数z满足|z+3-3i|=3，则|z|的最大值是______;最小值是______.1.满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应的轨迹是（）A.一条直线B.两条直线C.圆D.其他333C3.|z1|=|z2|平行四边形OABC是.4.|z1+z2|=|z1-z2|平行四边形OABC是.5.|z1|=|z2|，|z1+z2|=|z1-z2|平行四边形OABC是.菱形矩形正方形(1)|z－(1+2i)|(2)|z+(5+3i)|6.已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.点A到点(1,2)的距离点A到点(－5,－3)的距离(3)|z－1|(4)|z+2i|点A到点(1,0)的距离点A到点(0,－2)的距离7.计算（1）（5+4i）+（-3-2i）（2）（2-i）-（2+3i）+4i（3）5-（3+2i）（4）4i-（4i-4）答案：(1)2+2i(2)0(3)2-2i(4)48.已知复数m=2－3i,若复数z满足等式|z－m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?解：以点(2,－3)为圆心,1为半径的圆.1.复数的加、减运算法则表明，若干个复数的代数和仍是一个复数，复数的和差运算可转化为复数的实部、虚部的和差运算.2.在几何背景下求点或向量对应的复数，即求点或向量的坐标，有关复数模的问题，根据其几何意义，有时可转化为距离问题处理.3.在实际应用中，既可以将复数的运算转化为向量运算，也可以将向量的运算转化为复数运算，二者对立统一.人类的幸福和欢乐在于奋斗，而最有价值的是为理想而奋斗.
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