一二维形式的柯西不等式基础巩固1已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则()A.ab≤12B.ab≥12C.a2+b2≥2D.a2+b2≤3解析：∵(12+12)(a2+b2)≥(a+b)2=4,∴a2+b2≥2.故选C.答案：C2已知4x+9y=2,x,y>0,则x+y的最小值是()A.252B.254C.52D.5解析：由4x+9y=2,得x+y¿[(√x)2+(√y)2][(2√x)2+(3√y)2]2≥12(√x·2√x+√y·3√y)2=12(2+3)2=252,当且仅当√x·3√y=√y·2√x,即x=5,y¿152时,等号成立.答案：A3已知x+y=1,则2x2+3y2的最小值是()A.56B.65C.2536D.3625解析：2x2+3y2=[(√2x)2+(√3y)2¿[(√3)2+(√2)2]×15≥15(√6x+√6y)2=65(x+y)2=65,当且仅当2x=3y,即x¿35,y=25时,等号成立.答案：B4函数y=2√2-x+√2x-3的最大值是()1A.3B.32C.√3D.4解析：y2¿(2×√2-x+√2×√x-32)2≤[22+(√2)2¿[(√2-x)2+(√x-32)2]=6×12=3,当且仅当2√x-32=√2·√2-x,即x¿53时,等号成立.故y的最大值为√3.答案：C5已知x>0,y>0,且xy=1,则(1+1x)(1+1y)的最小值为()A.4B.2C.1D.14解析：(1+1x)(1+1y)¿[12+(1√x)2][12+(1√y)2]≥(1×1+1√x×1√y)2=(1+1√xy)2=22=4,当且仅当x=y=1时,等号成立.答案：A6设x,y∈R+,则(x+y)·(3x+2y)的最小值是.答案：5+2√67已知a,b∈R+,且a+b=1,则12a+1b的最小值是.解析：因为a,b∈R+,且a+b=1,所以12a+1b=(12a+1b)(a+b),由柯西不等式得(12a+1b)(a+b)≥(√12a·√a+√1b·√b)2=(√22+1)2=32+√2,当且仅当b2a=ab,a+b=1时等号成立,此时a¿√2−1,b=2−√2.2答案：32+√28函数y=3sinx+2√2(1+cos2x)的最大值是.解析：y=3sinx+2√2(1+cos2x)=3sinx+4√cos2x≤√(32+42)(sin2x+cos2x)=5,当且仅当3|cosx|=4sinx时,等号成立.答案：59已知a2+b2=1,x2+y2=1,求证:|ax+by|≤1.证明：由柯西不等式,得|ax+by|≤√a2+b2·√x2+y2=1,当且仅当ay=bx时,等号成立.10已知a>b>c,求证:1a-b+1b-c≥4a-c.分析：原不等式可变形为(a-c¿(1a-b+1b-c)≥4.又a-c=(a-b)+(b-c),利用柯西不等式证明即可.证明：(a-c¿(1a-b+1b-c)=[(a-b)+(b-c)¿(1a-b+1b-c)=[(√a-b)2+(√b-c)2¿[(√1a-b)2+(√1b-c)2]≥(√a-b√1a-b+√b-c√1b-c)2=4,当且仅当√a-b·√1b-c=√b-c·√1a-b,即a-b=b-c时,等号成立.故原不等式成立.能力提升1已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值是()A.√2B.2C.√3D.3解析：2x+y¿√2×√2x+1×y≤√(√2)2+12×√(√2x)2+y2=√3×√2x2+y2=√3,当且仅当√2y=√2x,即x=y¿√33时,等号成立.3故2x+y的最大值是√3.答案：C2若x2+y2=8,则2x+y的最大值为()A.8B.4C.2√10D.5解析：∵(x2+y2)·(4+1)≥(2x+y)2,∴(2x+y)2≤8×5=40,当且仅当x=2y时,等号成立,即(2x+y)max=2√10.答案：C3若a+b=1,则(a+1a)2+(b+1b)2的最小值为()A.1B.2C.252D.72解析：(a+1a)2+(b+1b)2=a2+2+1a2+b2+2+1b2.∵a+b=1,∴a2+b2¿12(a2+b2)·(1+1)≥12(a+b)2=12.又1a2+1b2≥2ab≥8(a+b)2=8,以上两个不等式都是当且仅当a=b¿12时,等号成立,∴(a+1a)2+(b+1b)2≥12+2+2+8=252,当且仅当a=b¿12时,等号成立.答案：C4已知正数a,b满足a+b=2,则√a+√b+1的最大值为()A.√3B.√2+1C.√6D.√3+1解析：正数a,b满足a+b=2,则a+b+1=3,则(1·√a+1·√b+1¿2≤(12+12)[(√a)2+(√b+1)2¿=6.故√a+√b+1≤√6,故选C.答案：C5设xy>0,则(x2+4y2)(y2+1x2)的最小值为.解析：原式=[x2+(2y)2][(1x)2+y2]≥(x·1x+2y·y)2=9,4当且仅当xy¿√2时,等号成立.故所求最小值为9.答案：96设实数x,y满足3x2+2y2≤6,则2x+y的最大值为.解析：由柯西不等式得(2x+y)2≤[(√3x)2+(√2y)2¿·[(2√3)2+(1√2)2]=(3x2+2y2)·(43+12)≤6×116=11,当且仅当3x=4y,即x¿4√11,y=3√11时,等号成立.因此2x+y的最大值为√11.答案：√117函数f(x)¿√x2-8x+20−√x2-6x+10的最大值为.解析：f(x)¿√x2-8x+20−√x2-6x+10¿√(x-4)2+22−√(x-3)2+1¿√[(x-3)-1]2+[1-(-1)]2−√(x-3)2+12≤√12+(-1)2=√2,当且仅当x=2时,等号成立.答案：√28已知θ为锐角,a,b>0,求证:(a+b)2≤a2cos2θ+b2sin2θ.证明：设m¿(acosθ,bsinθ),n=(cosθ,sinθ),则|a+b|¿|acosθ·cosθ+bsinθ·sinθ|=¿m·n|≤|m||n|¿√(acosθ)2+(bsinθ)2·√1¿√a2cos2θ+b2sin2θ,当且仅当a=kcos2θ,b=ksin2θ,k∈R时,等号成立.故(a+b)2≤a2cos2θ+b2sin2θ.★9在半径为R的圆内,求周长最大的内接长方形.5解:如图,设内接长方形ABCD的长为x,则宽为√4R2-x2,于是长方形ABCD的周长l=2(x+√4R2-x2¿=2(1×x+1×√4R2-x2).由柯西不等式得l≤2[x2+(√4R2-x2)2]12¿·2R=4√2R,当且仅当x1=√4R2-x21,即x¿√2R时,等号成立.此时,√4R2-x2=√4R2-(√2R)2=√2R,即长方形ABCD为正方形.故周长最大的内接长方形为正方形,其周长为4√2R.6
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