天全中学2015—2016学年下期高二第5周周考理科数学试题班级：姓名：成绩：，一、选择题（共6小题；共30分）1.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若，平行于同一平面，则与平行C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线D.若，不平行，则与不可能垂直于同一平面2.给出下列四个命题：其中真命题有()①如果是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面；②如果直线和平面满足，那么与平面内的直线不是平行就是异面；③如果直线，，则；④如果平面平面，若，，则．A.个B.个C.个D.个3.如图，正方体的棱长为，是底面的中心，则到平面的距离为A.B.C.D.4.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是，则侧棱与底面所成的角为()A.B.C.D.5.函数的最大值是()A.B.C.D.6.若三棱柱的一个侧面是边长为的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于()A.B.C.D.二、填空题（共3小题；共15分）7.在长方体中，棱，，点是线段上的一动点，则的最小值是．8.在斜三棱柱中，，，则在底面上的射影必在．9.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的大小是．三、解答题（共3小题；共39分）10.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设的中点为，的中点为．(1)请将字母，，标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；(2)证明：直线；(3)求二面角的余弦值．11.已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点是对角线的中点．(1)求证：为异面直线和的公垂线；(2)求二面角的余弦值的大小；(3)求三棱锥的体积．112.如图，已知，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积；(3)线段上是否存在一点，使得？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．2天全中学2015—2016学年下期高二第5周周考理科数学参考答案第一部分1.D2.B3.B4.C5.D6.B第二部分7.8.直线上9.第三部分10.(1)点，，的位置如图所示．10.(2)如图，连接，设为的中点．因为，分别是，的中点，所以，且，，且，所以，，所以四边形是平行四边形，从而．又，，所以．10.(3)方法一：如图，连接，过作于．在正方体中，，所以，过作于，连接，所以，从而所以是二面角的平面角．设，则，．在中，．在中，．所以，即二面角的余弦值为．方法二：如图，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系．设，则，，，，所以，．设平面的一个法向量为，由得取，得．在正方体中，，则可取平面的一个法向量为，所以故二面角的余弦值为．11.(1)法一：如图，连接，取中点，则为的中点，连接．因为是棱的中点，点是的中点．所以，，所以为平行四边形．所以，．由，得，因为，，所以，所以，所以．又因为与异面直线和都相交，故为异面直线和的公垂线．法二：以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．则，，，，，．因为点是棱的中点，点是的中点．所以，，所以所以所以，．又因为与异面直线和都相交，故为异面直线和的公垂线．11.(2)解法一：取中点，连接，则，过点作于，连接，则由三垂线定理得．从而为二面角的平面角，所以在中，．故二面角的余弦值为．解法二：设平面的一个法向量为，，，则即取，则，，从而．取平面的一个法向量为，所以由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．11.(3)解法一：易知，且和都在平面内，点到平面距离，所以解法二：易知设平面的一个法向量为，，，则即取，得，从而．点到平面的距离所以12.(1)如图，过作，垂足为，因为，所以四边形为矩形．所以．3又因为，，所以，，，所以，所以；因为，，所以，所以，又因为，，，所以．12.(2)因为，所以，．12.(3)存在，点为线段中点，证明如下：在矩形中，因为点，分别为线段和的中点，所以四边形为正方形，所以；因为，，所以．在直角梯形中，．因为，所以；因为，所以；因为，所以；因为，所以，因为，所以．4
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