函数的单调性例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间(1)y＝|x2＋2x－3|(2)y(3)y＝＝xxxxx2221123||解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示．由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)递减区间是(－∞，－3]，[－1，1](2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．解当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x．当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2．∴增区间是(－∞，0)和(0，1)减区间是[1，2)和(2，＋∞)(3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1．令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是．而＝在≥上是增函数．yu0u∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．【例2】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范围．解当a＝0时，f(x)＝x在区间[1，＋∞)上是增函数．当≠时，对称轴＝，若＞时，由＞≤，得＜≤．a0xa0a03a10a131212aaa若a＜0时，无解．∴a的取值范围是0≤a≤1．【例3】已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)(2)f(2)f(15)与解(1)∵y＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x＝3，∴x≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)(2)x3f(2)f(4)34f(x)x3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15时为减函数．∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)【例4】判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a0)(11)axx21解任取两个值x1、x2∈(－1，1)，且x1＜x2．∵－＝∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴＞f(x)f(x)1xx1xx10xx0x10x10012121221axxxxxxxxxxxx()()()()()()()()12211222121212211222111111当a＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．当a＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．证取任意两个值x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x)f(x)(xx)(xxxx)()xx0xxxx(xx)xx0xx0xxxx02112221212121212221221212121222证法一又∵x1－x2＜0，∴f(x2)＜f(x1)故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法二()xxxx(xx)xxxx0xx0x0x0xxxxxx012122212222122122112121222∵＋＋＝＋＋，这里＋与不会同时为，否则若＋＝且＝，则＝这与＜矛盾，∴＋＋＞．12341212得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法三()txxxxx4x3x00x0x0tx03x0t0xxxx0f(x)f(x)f(x)(22121212121212221222121221令＝＋＋，其判别式Δ＝－＝－≤，若Δ＝时，则＝，那么≠，∴＝＞，若Δ＝－＜，则＞，即＋＋＞，从而＜，∴在－∞，＋∞上是减函数．)【例6】讨论函数＝＋的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x1x解定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x1、x2，且x1＜x2．∵－＝－，又－＜，f(x)f(x)(xx)xxxx012121112xx221∴当0＜x1＜x2≤1或－1≤x1＜x2＜0时，有x1x2－1＜0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x1＜x2或x1＜x2≤－1时，有x1x2－1＞0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)min＝f(1)＝2，当x＜0时，f(x)max＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出＝＋的图像如图．－．yx2321x说明1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．2°注意对参数的讨论(如例4)．3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5)4°例6是分层讨论，要逐步培养．
