九年级数学圆和圆的位置关系知识精讲二一.本周教学内容：圆和圆的位置关系（二）二.重点、难点：1.圆和圆的公切线条数及公切线长的计算。2.两个圆相内切和外切的性质。[例1]已知⊙和⊙外切于点P，A在⊙上，AC切⊙于C点，交⊙于B点，直线AP交⊙于D，求证：（1）PC平分（2）证明：作内公切线PN交AC于N点（1）由弦切角定理知，又∵∴（2）由弦切角定理知，又由（1）知∽∴∴[例2]如图，两圆外切于T，CT、TD为直径，公切线AB交CD于P，求证：（1）（2）（3）证明：作内公切线TM交AB于M点；连CA、BD（1）由切线长定理知MT=MA=MB，故（2）由弦切角定理知∵CT、TD为直径∴∴∽∴∴∽∴（3）由（2）知∽∴同理由∽得∴∴[例3]已知两圆内切于T点，大圆的弦AB切小圆于C（1）求证：（2）求证：证明：作外公切线TE，延长TC交大圆于K，连AK（1）∵AB、TE都与小圆相切∴又∵，而由弦切角定理知∴（2）∵∴又∵∴∽∴∴由相交弦定理，∴[例4]以FA为直径的圆O和以OA为直径的⊙内切于A点，内接于⊙O，DB⊥AF于B，交⊙于C点，延长AC交⊙O于E点，求证：（1）AC=CE（2）证明：连OC、OE（1）∵OA是直径∴OC⊥CA∴AC=CE（2）∵AF是直径∴又∵DB⊥AF∴（射影定理）同理，∴又∵AC=CE∴[例5]已知两圆半径分别为1和2，且它们的公切线中有两条互相垂直，求圆心距的大小。解：（1）两条外公切线互相垂直（2）两条内公切线互相垂直（3）一条内公切线与一条外公切线互相垂直[例6]已知两圆相外切，半径分别为1和3，那么在平面上半径为4，且与以上两圆同时相切的圆共有个。解：（1）与两圆同时外切的圆有2个（2）与两圆同时内切的圆有1个（3）与两圆之一内切，之一外切的圆有2个∴共有5个一.填空题：1.两圆直径分别为8cm和6cm，一条外公切线长为7cm，则两圆的位置关系为。2.⊙与⊙两条外公切线互相垂直，⊙直径为5cm，⊙直径为20cm，则两圆的一条外公切线长为.3.若两圆半径分别为4cm和6cm，圆心距为20cm，则它们的两条内公切线所成的角为。4.外切两圆半径之比为，若一条外公切线长4cm，则两圆半径分别为。5.两圆外切，圆心距为10cm，一圆半径为7.5cm，则一条外公切线长为。6.⊙O和⊙外切于P点，AB是两圆的公切线，A、B是切点，又知PA=2cm，PB=3cm，则AB长为。二.解答题：7.如图，⊙与⊙外切于点P，过P作AB交两圆于A、B，EF为公切线，AE交BF于C，求证：AC⊥BC。[参考答案]一.填空题：1.外离2.7.5cm3.4.；5.6.7.提示：连PE、PF，过P作内公切线，交EF于点G，，又，，∴。
