课时分层作业四十八直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题(每小题5分,共25分)1.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为()A.(-,)B.[-,]C.D.【解析】选D.设直线l方程为y=k(x-4),则由题意知,≤1,所以-≤k≤.2.设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么()A.点P在直线L上,但不在圆M上B.点P在圆M上,但不在直线L上C.点P既在圆M上,又在直线L上D.点P既不在圆M上,也不在直线L上【解析】选C.因为把点P的坐标代入直线L方程,得2+1-3=0,所以点P在直线上,把点P的坐标代入圆M的方程,得(2-3)2+(1-2)2=2,,所以点P在圆M上.所以点P既在圆M上,又在直线L上.【变式备选】直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为()A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离【解析】选B.圆心为(0,0),到直线y=x+1即x-y+1=0的距离d==,而0<<1,但是圆心不在直线y=x+1上,所以直线与圆相交,但直线不过圆心.3.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8【解析】选B.因为圆心(-1,1)到直线x+y+2=0的距离为=,又截得的弦长为4,所以圆的半径为r==,所以2-a=6,所以a=-4.【变式备选】设A,B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则|AB|=()A.1B.C.D.2【解析】选D.直线y=x过圆x2+y2=1的圆心C(0,0),则|AB|=2.4.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为()A.x2+y2-2x-3=0B.x2+y2+4x=0C.x2+y2+2x-3=0D.x2+y2-4x=0【解析】选D.由已知可设圆心为(a,0)(a>0),因为直线3x+4y+4=0与圆C相切,所以=2,解得a=2,所以圆的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.【变式备选】直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.如图,当k=1时,△OAB的面积为,但是当k=-1时,△OAB的面积也为,所以“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件.5.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为(-2,3),则直线l的方程为()A.x+y-3=0B.x+y-1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=0【解析】选C.设直线的斜率为k,又弦AB的中点为(-2,3),所以直线l的方程为kx-y+2k+3=0,由x2+y2+2x-4y+a=0得圆的圆心坐标为(-1,2),所以圆心到直线的距离为,所以=,解得k=1,所以直线l的方程为x-y+5=0.【变式备选】过点(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为()A.5x+12y+20=0B.5x+12y+20=0或x+4=0C.5x-12y+20=0D.5x-12y+20=0或x+4=0【解析】选B.圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=25,由|AB|=8知,圆心(-1,2)到直线l的距离d=3.当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x=-4时,符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0,则有=3,所以k=-.此时直线l的方程为5x+12y+20=0.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为________.【解析】设圆心O到AC,BD的距离分别为d1,d2,则+=OM2=3.四边形ABCD的面积是S=|AC|·|BD|=2≤8-(+)=5.答案:57.直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=________.【解析】由题设可知圆心到直线的距离为==,所以a2+b2=2.答案:28.过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则线段PQ的长为________.【解析】由已知得圆的方程是(x-3)2+(y-4)2=5,如图,又由圆的切线性质得|CP|=,|CO|=5,得|PO|=2,因为PQ⊥CO,所以|PA||OC|=|CP||OP|,所以|PA|=2,所以|PQ|=4.答案:4【变式备选】直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于________.【解析】如图,设A,B是切点,所以l1与l2的夹角的正切值为tan2∠APO===.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知点A(1,a),圆x2+y2=4.(1)若过点A的圆的切线只有一条,求a的值及切线方程.(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2,求a的值.【解析】(1)由于过点A的圆的切线只有一条,则点A在圆上,故12+a2=4,所以a=±.当a=时,A(1,),易知所求切线方程为x+y-4=0;当a=-时,A(1,-),易知所求切线方程为x-y-4=...
