增分强化练(二十八)1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F为抛物线y2＝4x的焦点，P，Q是椭圆C上的两个动点，且线段PQ长度的最大值为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若OP⊥OQ，求△OPQ面积的最小值．解析：(1)∵y2＝4x的焦点为(1,0)，∴椭圆C的右焦点F为(1,0)，即c＝1，又|PQ|的最大值为4，因此|PQ|＝2a＝4，∴a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)①当P，Q为椭圆顶点时，易得△OPQ的面积为×2×＝，②当P，Q不是椭圆顶点时，设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，由，得x2＝，所以|OP|＝，由OP⊥OQ，得直线OQ的方程为：y＝－x，所以|OQ|＝＝，所以S△OPQ＝|OP|·|OQ|＝6＝6＝6，＝k2＋＋2≥4，当且仅当k2＝1时等号成立，所以0<≤，所以≤S△OPQ<，综上，△OPQ面积的最小值为.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，点P(，)满足PF1·PF2＝0.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M，N两点，设O为坐标原点，直线OM，直线l，直线ON的斜率分别为k1，k，k2，且k1，k，k2成等比数列，求k1·k2的值．解析：(1)依题意F1(－c,0)，∴PF1·PF2＝－c2＋3＝0，即c＝，∵e＝＝，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝k(x－)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(3k2－1)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，∵k1，k，k2成等比数列，∴k1·k2＝k2＝＝，则(x1＋x2)＝3，即＝，解得k2＝，故k1k2＝.3．已知抛物线C：y2＝2px(0
0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝n，①y1y2＝－t，②则kPAkPB＝·＝·＝.由题意，得y1y2＋(y1＋y2)＋1＝1，即y1y2＋(y1＋y2)＝0，③将①②代入③得－t＋n＝0，即t＝n.所以l：x＝n(y＋1)．显然l过定点(0，－1)．4．已知抛物线E：x2＝2py(p>0)上一点P的纵坐标为4，且点P到焦点F的距离为5.(1)求抛物线E的方程；(2)如图，设斜率为k的两条平行直线l1，l2分别经过点F和H(0，－1)，l1与抛物线E交于A，B两点，l2与抛物线E交于C，D两点．问：是否存在实数k，使得四边形ABDC的面积为4＋4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由抛物线的定义知，点P到抛物线E的准线的距离为5.∵抛物线E的准线方程为y＝－，∴4＋＝5，解得p＝2，∴抛物线E的方程为x2＝4y.(2)由已知得，直线l1：y＝kx＋1.由消去y得x2－4kx－4＝0，Δ1＝16(k2＋1)>0恒成立，|AB|＝·＝4(k2＋1)．直线l2：y＝kx－1，由消去y得x2－4kx＋4＝0，由Δ2＝16(k2－1)>0得k2>1，|CD|＝·＝4.又直线l1，l2间的距离d＝，∴四边形ABDC的面积S＝·d·(|AB|＋|CD|)＝4(＋)．解方程4(＋)＝4(＋1)，得k2＝2(满足k2>1)，∴存在满足条件的k，k的值为±.
