1.2复数的有关概念[A组基础巩固]1．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为()A．1B．1或3C．3D．9解析：由条件知，m－3＝2，即m－2－3＝0，∴(－3)(＋1)＝0，∴m＝9.答案：D2．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)为虚数，且满足a＋bi＝a2＋2ai，则复数z为()A．0或1＋2iB．0C．1＋2iD．2i解析：∵b≠0，∴a＝a2且b＝2a，∴a＝1，b＝2.答案：C3．下列命题中：①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；②若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；③x＋yi＝2＋2i⇔x＝y＝2；④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：在①中没有注意到z＝a＋bi中未对a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如：若zA＝1，zB＝i，则z＋z＝1－1＝0，从而由z＋z＝0⇒/zA＝zB＝0，故②错误；在③中若x，y∈R，可推出x＝y＝2，而此题未限制x，y∈R，故③不正确；④中忽视0·i＝0，故④也是错误的．故选A.答案：A4．在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量OB对应的复数为()A．－2－iB．－2＋iC．1＋2iD．－1＋2i解析：因为点A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以OB对应的复数为－2＋i，故选B.答案：B5．已知复数z＝a－i(a∈R)对应的点都在以原点为圆心的单位圆内(不含边界)，则a的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C.D．(－1,0)∪(0,1)解析：因为复数z＝a－i(a∈R)对应的点在圆x2＋y2＝1内，所以a2＋<1，解得－
0，得m<－3或m>5.故当m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方．(5)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得m＝或m＝.故当m＝或m＝时，z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．10．设复数z满足|z|＝5且(3＋4i)z是纯虚数，求复数z.解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝5.①∴(3＋4i)z＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i，由题设，得b＝a，代入①，∴a＝±4，∴z＝4＋3i或z＝－4－3i.[B组能力提升]1．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于()A．－＋iB.－iC．－－iD.＋i解析：设z＝x＋yi(x、y∈R)，则x＋yi＋＝2＋i，∴解得∴z＝＋i.答案：D2．已知复数z1＝x＋yi，z2＝x＋(x－3y)i，x，y∈R.若z1＝z2，且|z1|＝，则z1＝________.解析：因为z1＝z2，所以y＝x－3y，即x＝4y.又|z1|＝＝，即17y2＝17，解得y＝1，x＝4或y＝－1，x＝－4，2所以z1＝4＋i，或z1＝－4－i.答案：4＋i或－4－i3．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－－i，z4＝－i，z1，z2，z3，z4在复平面内的对应点分别是A，B，C，D，则∠ABC＋∠ADC＝________.解析：|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝，所以点A，B，C，D应在以原点为圆心，为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD对角互补，所以∠ABC＋∠ADC＝180°.答案：180°4．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个方程的实根以及实数k的值．解析：设x＝x0是方程的一个实根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.由复数相等的充要条件得，解得或.当实根为时，k＝－2，当实根为－时，k＝2.5．已知复数z的模是2，求|z－i|的最大值．解析：解法一设z＝x＋yi(x、y∈R)，则|z－i|＝＝.由于x2＋y2＝4，则|z－i|＝，又－2≤y≤2，故|z－i|max＝3.解法二由|z|＝2，知z对应的轨迹为以原点为圆心2为半径的圆(如图)．又|z－i|的几何意义为由动点z到(0,1)的距离，∴由图形知|z－i|max＝3.3
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