习题课（二）数系的扩充与复数的引入1．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝()A．3－4iB．3＋4iC．4－3iD．4＋3i解析：选A由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，则(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.2．复数z满足(－1＋i)z＝(1＋i)2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选Dz＝＝＝＝1－i，故z在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．3．如果复数z＝，则()A．|z|＝2B．z的实部为1C．z的虚部为－1D．z的共轭复数为1＋i解析：选C因为z＝＝＝－1－i，所以|z|＝，z的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i，因此选C.4．在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数为()A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4i解析：选D∵AB对应复数2＋i，BC对应复数1＋3i，∴AC对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i，∴CA对应的复数是－3－4i.5．已知i为虚数单位，若复数z＝(a∈R)的实部为－3，则|z|＝()A.B．2C.D．5解析：选D∵z＝＝＝的实部为－3，∴＝－3，解得a＝7.∴z＝－3－4i，则|z|＝5.故选D.6．设z是复数，则下列命题中的假命题是()A．若z2≥0，则z是实数B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2<0解析：选C设z＝a＋bi(a，b∈R)，选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．7．复数z＝的共轭复数是________．解析：依题意得z＝＝＝1－i，因此z的共轭复数是1＋i.答案：1＋i8．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝1________.解析：∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，∴z2＝－2＋3i.答案：－2＋3i9．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，则ω＝________.解析：由题意设(1＋3i)z＝ki(k≠0且k∈R)，则ω＝.∵|ω|＝5，∴k＝±50，故ω＝±(7－i)．答案：±(7－i)10．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z|；(2)若z2＋az＋b＝，求实数a，b的值．解：z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.(1)|z|＝＝.(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i，∵＝1－i，∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i，∴∴a＝－3，b＝4.11．已知z＝(x>0)，且复数ω＝z(z＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－，求ω·.解：ω＝z(z＋i)＝＝·＝＋i.根据题意－＝－，得x2－1＝3.∵x>0，∴x＝2，∴ω＝＋3i.∴ω·＝＝.12．已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.解：设z＝x＋yi，x，y∈R，如图，因为OA∥BC，|OC|＝|BA|，所以kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，即解得或因为|OA|≠|BC|，所以x＝－3，y＝4(舍去)，故z＝－5.23
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