23题操作问题专题整理操作型问题是指通过动手测量、作图（象）、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想．例1（09河北）如图13-1至图13-5，⊙均作无滑动滚动，⊙1、⊙2、⊙3、⊙4均表示⊙与线段或相切于端点时刻的位置，⊙的周长为．阅读理解：（1）如图13-1，⊙从⊙1的位置出发，沿滚动到⊙2的位置，当=时，⊙恰好自转1周．（2）如图13-2，∠相邻的补角是°，⊙在∠外部沿--滚动，在点处，必须由⊙1的位置旋转到⊙2的位置，⊙绕点旋转的角∠12=°，⊙在点处自转360n周．实践应用：（1）在阅读理解的（1）中，若=2，则⊙自转周；若=，则⊙自转周．在阅读理解的（2）中，若∠=120°，则⊙在点处自转周；若∠=60°，则⊙在点处自转周．（2）如图13-3，∠=90°，==12．⊙从⊙1的位置出发，在∠外部沿--滚动到⊙4的位置，⊙自转周．拓展联想：（1）如图13-4，△的周长为，⊙从与相切于点的位置出发，在△外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与相切于点的位置，⊙自转了多少周？请说明理由．（2）如图13-5，多边形的周长为，⊙从与某边相切于点的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点的位置，直接写出⊙自转的周数．．解：实践应用（1）2；lc．16；13．（2）54．拓展联想（1） △的周长为，∴⊙在三边上自转了lc周．又 三角形的外角和是360°，∴在三个顶点处，⊙自转了3601360（周）．∴⊙共自转了（lc+1）周．（2）lc+1．例2（08河北）在一平直河岸l同侧有A,B两个村庄，A,B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm(a>1)．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA(km)（其中BP⊥l于点P）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB(km)（其中点A´与点A关于l对称，A´B与l交于点P）．观察计算（1）在方案一中，1dkm（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，2dkm（用含a的式子表示）．探索归纳（1）①当4a时，比较大小：12_______dd（填“＞”、“＝”或“＜”）；②当6a时，比较大小：12_______dd（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a（当1a时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？方法指导当不易直接比较两个正数与的大小时，可以对它们的平方进行比较：，，与的符号相同．当时，，即；当时，，即；当时，，即；答案：观察计算（1）2a；（2）224a．探索归纳（1）①；②；（2）2222212(2)(24)420ddaaa．①当4200a，即5a时，22120dd，120dd．12dd；②当4200a，即5a时，22120dd，120dd．12dd；③当4200a，即5a时，22120dd，120dd．12dd．综上可知：当5a时，选方案二；当5a时，选方案一或方案二；当15a（缺1a不扣分）时，选方案一．例3（07河北）在图14-1—14-5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．操作示例当2b＜a时，如图14-1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图14-1），过点F作FM⊥AE于点M（图略）...
