9.3圆的方程一、选择题1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()．A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4解析AB的中点坐标为：(0,0)，|AB|＝＝2，∴圆的方程为：x2＋y2＝2.答案A2．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为()A．x2＋y2－2x－1＝0B．x2＋y2－2x－3＝0C．x2＋y2＋2x－1＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0解析 抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)，∴圆的标准方程是(x－1)2＋y2＝4.展开得x2＋y2－2x－3＝0.答案B3．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1解析只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不变．设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意，有解得对称圆的半径不变，为1.答案B4．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为()A．2B.－1C．2－1D．1解析圆心(－2,1)到已知直线的距离为d＝2，圆的半径为r＝1，故所求距离dmin＝2－1.答案C5．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()．A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案A6．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是()．A．(4,6)B．[4,6)C．(4,6]D．[4,6]解析因为圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为5，所以当半径r＝4时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1时，4＜r＜6.答案A7．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是z小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是()．解析如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A在第三象限为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圆圆弧的长为l1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l2＝2θ×1＝2θ，则l1＝l2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M1与点M′重合．即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，故M，N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项知，只有选项A符合．故选A.答案A二、填空题8．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．解析线段AB的中垂线方程为2x－y－4＝0，与x轴的交点(2,0)即为圆心C的坐标，所以半径为|CB|＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案(x－2)2＋y2＝109．过两点A(0,4)，B(4,6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上的圆的标准方程是________．解析设圆心坐标为(a，b)，圆半径为r，则圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 圆心在直线x－2y－2＝0上，∴a－2b－2＝0，①又 圆过两点A(0,4)，B(4,6)，∴(0－a)2＋(4－b)2＝r2，②且(4－a)2＋(6－b)2＝r2，③由①②③得：a＝4，b＝1，r＝5，∴圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝25.答案(x－4)2＋(y－1)2＝2510．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)．P是圆C上的动点，当|PA|2＋|PB|2取最大值时，点P的坐标是________．解析设P(x0，y0)，则|PA|2＋|PB|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2，显然x＋y的最大值为(5＋1)2，∴dmax＝74，此时OP＝－6PC，结合点P在圆上，解得点P的坐标为.答案11．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值为________．解析lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到lAB的距离d＝＝，∴AB边上的...
