8.7立体几何中的向量方法（Ⅰ）----证明平行与垂直一、选择题1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则()．A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确答案B2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是()A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)解析两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B中的两个向量垂直．答案B3．已知a＝，b＝满足a∥b，则λ等于()．A.B.C．－D．－解析由＝＝，可知λ＝.答案B4．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()．A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.答案D5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是()A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)解析两个平面平行时其法向量也平行，检验知正确选项为D.答案D6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()．A.B.C.D.解析由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，∴∴.答案D7．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1,1)B.C.D.解析对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0，验证可知C、D均不满足·n＝0.答案B二、填空题8．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是_______．解析 v2＝－2v1，∴v1∥v2.答案平行9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.解析直线l的方向向量平行于平面α的法向量，故直线l的单位方向向量是s＝±.答案±10．已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则AP·AB＝0，且AP·AC＝0是AP·BC＝0的_______．解析由，得AP·(AB－AC)＝0，即AP·CB＝0，亦即AP·BC＝0，反之，若AP·BC＝0，则AP·(AC－AB)＝0⇒AP·AB＝AP·AC，未必等于0.答案充分不必要条件11．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．解析设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)．则即令z＝1，得∴n＝，∴平面ABC的单位法向量为±＝±.答案±12．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________．解析由题知：BP⊥AB，BP⊥BC.所以即解得x＝，y＝－，z＝4.答案，－，4三、解答题13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：a，b，c.解析因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2，y＝－4，这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．14.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN＝，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又MN·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴MN⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.法二MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C＝(D1A1－D1D)＝DA1，∴MN∥DA1，又 MN与DA1不共线，∴MN∥DA1，又 MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.15．如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面BCC1B1.证明(1)建立如图所示的坐标系，则BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)...
