8.6空间向量及其运算一、选择题1．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()．A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．答案C2．以下四个命题中正确的是()．A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．答案B3．有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.③若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A、B共面；④若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB.其中真命题的个数是()．A．1B．2C．3D．4解析其中①③为正确命题．答案B4.如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c则下列向量中与相等的向量是()A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c解析＝＋＝＋＋＝－a＋b＋c.答案A5．如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为()．A．0B.C.D.解析设OA＝a，OB＝b，OC＝c由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0.答案A6．如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.B.C．1D.解析＝BF＋FE＋ED，∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－＝3－，故|BD|＝.答案D7．下列命题中①若a∥b，b∥c，则a∥c；②不等式|a＋b|＜|a|＋|b|的充要条件是a与b不共线；③若非零向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ、μ∈R，且λμ≠0)，则c⊥d.正确命题的个数是()．A．0B．1C．2D．3解析只有命题③是正确命题．答案B二、填空题8．如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别为________________．解析 OG＝OM＋MG＝OA＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA＋ON－OM＝OA＋×(OB＋OC)－×OA＝OA＋OB＋OC∴x，y，z的值分别为，，.答案，，9.设,xyR，向量4,2,,1,1,cybxa，且cbca//,，则_______ba解析2402,//(3,1)10242xxacbcabyy.答案1010．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．解析如图，AC′＝AB＋BC＋CC′＝AB＋AD＋AA′，所以|AC′|＝|AC′|＝|AB＋AD＋AA′|＝＝＝.答案11．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________．解析由⊥，⊥，⊥⊥，得(＋＋)2＝3()2，故①正确；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中|··|＝0.故④也不正确．答案①②12．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．X解析设OA＝a，OB＝b，OC＝c.OA与BC所成的角为θ，OA·BC＝a(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋AC)－a·(a＋AB)＝a2＋a·AC－a2－a·AB＝24－16.∴cosθ＝＝＝.答案三、解答题13．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面...
