7.4基本不等式一、选择题1．若x＞0，则x＋的最小值为()．A．2B．3C．2D．4解析 x＞0，∴x≥＋4.答案D2．设a，b满足2a＋3b＝6，a>0，b>0，则＋的最小值为()A.B.C.D．4解析由a>0，b>0,2a＋3b＝6得＋＝1，∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋＋≥＋2＝＋2＝.当且仅当＝且2a＋3b＝6，即a＝b＝时等号成立．即＋的最小值为.答案A3．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n“”天的维修保养费为元，使用它直至报废最合算(“”所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)一共使用了()A．600天B．800天C．1000天D．1200天解析设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为＝＋＋4.95，当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800.本题的函数模型是一个在生活中较为常见的模型，注意如何建立这类问题的函数关系式，在有的问题中仪器还可以做废品再卖一点钱，这样要从总的耗资中把这部分除去．答案B4．若正实数a，b满足a＋b＝1，则()．A.＋有最大值4B．ab有最小值C.＋有最大值D．a2＋b2有最小值解析由基本不等式，得ab≤＝，所以ab≤，故B≥错；＋＝＝4，故A错；由基本不等式≤得＝≤，即＋，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D错．答案C5．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是()．A.B．4C.D．5解析依题意得＋＝(a＋b)≥＝＝，当且仅当，即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是，选C.答案C6．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是()．A．0B．1C．2D．4解析由题知a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0，y＞0≥，则＝＝4，当且仅当x＝y时取等号．答案D7.已知ab、都是正实数，函数2xyaeb的图象过（0,1）点，则11ab的最小值是（）A．322B．322C．4D．2答案A二、填空题8.已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．解析 12＝4x＋3y≥2，∴xy≤3.当且仅当即时xy取得最大值3.答案39．若a是1＋2b与1－2b的等比中项，则的最大值为________．解析a是1＋2b与1－2b的等比中项，则a2＝1－4b2⇒a2＋4b2＝1. a2＋4b2＝(|a|＋2|b|)2－4|ab|＝1.∴＝，这个式子只有当ab>0时取得最大值，当ab>0时，∴＝＝＝，由于a2＋4b2＝1，故4ab≤1≥，即4，故当＝4时，取最大值＝.答案10．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值为________．解析由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤，所以(x＋y)2≤1，≤故－x＋y≤，当x＝y“”时＝成立，所以x＋y的最大值为.答案11．x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________．解析＝1＋4＋4x2y2≥＋1＋4＋2＝9，当且仅当4x2y2＝时等号成立，即|xy|＝时等号成立．答案912．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．解析假设直线与函数f(x)＝的图象在第一象限内的交点为P，在第三象限内的交点为Q，由题意知线段PQ的长为OP长的2倍．假设P点的坐标为，则|PQ|＝2|OP|＝2≥4.当且仅当x＝，即x0“”＝时，取＝号．答案4三、解答题13．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解析 x＞0，y＞0,2x＋8y－xy＝0，(1)xy＝2x＋8y≥2，∴≥8，∴xy≥64.故xy的最小值为64.(2)由2x＋8y＝xy，得：＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)＝10≥＋＋10＋8＝18.故x＋y的最小值为18.14．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)解析(1)依题意得y＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N＋)；(2) x＞0，∴48x≥＋2＝1440(元)，当且仅当48x＝，即x＝15“”时取到＝，此时，平均综合费用的最小值为560＋1440＝2000(元)．所以，当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．15．设a，b，c≥都是正数，...
