7.1不等关系与不等式一、选择题1.已知2log3.6,a4log3.2,b4log3.6,c则()A.abcB.acbC.bacD.cab解析因为1a,,bc都小于1且大于0,故排除C,D;又因为,bc都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以bc,故选B.答案B2．设0
2，A＝＋，B＝＋，则A、B的大小关系是()A．A>BB．AB2，选A.答案A5．若a＞0，b＞0，则不等式－b＜＜a等价于()．A．－＜x＜0或0＜x＜B．－＜x＜C．x＜－或x＞D．x＜－或x＞解析由题意知a＞0，b＞0，x≠0，(1)当x＞0时，－b＜＜a⇔x＞；(2)当x＜0时，－b＜＜a⇔x＜－.综上所述，不等式－b＜＜a⇔x＜－或x＞.答案D6．已知ab≠0，那么＞1是＜1的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析＞1即＞0，所以a＞b＞0，或a＜b＜0，此时＜1成立；反之＜1，所以＞0，即a＞b，a＞0或a＜0，a＜b，此时不能得出＞1.答案A7．若a、b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()．A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2C.＋＞D.≥＋2解析对A：当a＝b＝1时满足ab＞0，但a2＋b2＝2ab，所以A错；对B、C：当a＝b＝－1时满足ab＞0，但a＋b＜0，＋＜0，而2＞0，＞0，显然B、C不对；对D：当ab＞0时，由均值定理＋＝2＝2.答案D二、填空题8．若a10.答案a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b19．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤＞这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．解析令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x＞y，a＞b，∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y.因此①不成立．又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by.因此③也不正确．又∵＝＝－1，＝＝－1，∴＝.因此⑤不正确．由不等式的性质可推出②④成立．答案②④10．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用区间表示)．解析∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，∴z∈[3,8]．答案[3,8]11．若角α，β满足－＜α＜β＜，则2α－β的取值范围是________．解析∵－＜α＜β＜，∴－π＜2α＜π，－＜－β＜，∴－＜2α－β＜，又∵2α－β＝α＋(α－β)＜α＜，∴－＜2α－β＜.答案12.设a＞b＞1，0c，给出下列三个结论：①ca＞cb；②ca＜cb；③log()log()baacbc，其中所有的正确结论的序号是.答案①②③三、解答题13．已知a>0，b>0，试比较M＝＋与N＝的大小．解析∵M2－N2＝(＋)2－()2＝a＋b＋2－a－b＝2>0，∴M>N.14．已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．解析由题意，得解得所以f(3)＝9a－c＝－f(1)＋f(2)．因为－4≤f(1)≤－1≤，所以－f(1)≤，因为－1≤f(2)≤5≤，所以－f(2)≤.两式相加，得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值范围是[－1,20]．15．已知a∈R，试比较与1＋a的大小．解析－(1＋a)＝.①当a＝0时，＝0，∴＝1＋a.②当a＜1且a≠0时，＞0，∴＞1＋a.③当a＞1时，＜0，∴＜1＋a.综上所述，当a＝0时，＝1＋a；当a＜1且a≠0时，＞1＋a；当a＞1时，＜1＋a.16．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y≤＋＋＋xy；(2)设1＜a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.解析(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y≤＋＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y≤＋＋＋xy其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．
