6.3等比数列及其前n项和一、选择题1.＋1与－1两数的等比中项是()A．1B．－1C．±1D.解析：设等比中项为x，则x2＝(＋1)(－1)＝1，即x＝±1.答案：C2．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()．A．X＋Z＝2YB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XYD．Y(Y－X)＝X(Z－X)解析(特例法)取等比数列1,2,4，令n＝1得X＝1，Y＝3，Z＝7代入验算，选D.答案D3．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为()．A．2B．4C．8D．16解析由anan＋1＝aq＝16n＞0知q＞0，又＝q2＝＝16，∴q＝4.答案B4．等比数列{an}中，a2＝3，a7·a10＝36，则a15＝()A．12B．－12C．6D．－6解析由等比数列的性质，有a2·a15＝a7·a10＝36，则a15＝＝12，故选A.答案A5．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为()．A．4B．5C.D.解析 a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列知2＝·4t，显然t≠0，所以t＝5.答案B6.已知na为等比数列，472aa，568aa，则110aa（）A．7B．5C．D．-7解析472aa，56474784,2aaaaaa答案D7．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则＝()．A.B.或C.D．以上都不对解析设a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根，不妨设a＜c＜d＜b，则a·b＝c·d＝2，a＝，故b＝4，根据等比数列的性质，得到：c＝1，d＝2，则m＝a＋b＝，n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝，则＝或＝.答案B二、填空题8．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．解析设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，，}故q的最小值是.答案9．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.解析由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以数列{an}的通项公式an＝4n－1.答案4n－110.等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1=1，且对任意的都有an＋2＋an＋1-2an=0，则S5=_________________。解析由已知可得公比q=-2，则a1=1可得S5。答案1111．已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.解析由题意可知，b6b8＝b＝a＝2(a3＋a11)＝4a7， a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16.答案1612．已知数列{xn}满足lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)，且x1＋x2＋x3…＋＋x100＝1，则lg(x101＋x102…＋＋x200)＝________.解析由lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)得lgxn＋1－lgxn＝1，∴＝10，∴数列{xn}是公比为10的等比数列，∴xn＋100＝xn·10100，∴x101＋x102…＋＋x200＝10100(x1＋x2＋x3…＋＋x100)＝10100，∴lg(x101＋x102…＋＋x200)＝lg10100＝100.答案100三、解答题13．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a1＋a3…＋＋a2n＋1.解析(1) S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.∴an＝(2)a3，a5…，，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a3＋a5…＋＋a2n＋1＝＝.∴a1＋a3…＋＋a2n＋1＝1＋＝.14．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；(2)设bn＝log3a1＋log3a2…＋＋log3an，求数列{bn}的通项公式．解析(1)证明因为an＝×n－1＝，Sn＝＝，所以Sn＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2…＋＋log3an＝－(1＋2…＋＋n)＝－.所以{bn}的通项公式为bn＝－.15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．解析(1)证明 an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝，∴{an－1}是等比数列． 首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.又cn＝an－1，∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．(2)由(1)可知cn＝·n－1＝－n，∴an＝cn＋1＝...
