5.3平面向量的数量积一、选择题1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案：D2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为()A．0B.C.D.解析 a·c＝a·＝a·a－a·b＝a2－a2＝0，又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝，故选D.答案D3.设向量=（1.）与=（-1，2）垂直，则等于（）ABC.0D.-1解析正确的是C.答案C4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()．A．－4B．4C．－2D．2解析设a与b的夹角为θ， a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cosθ＝＝－，∴|a|cosθ＝6×＝－4.答案A5．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()．A.－1B．1C.D．2解析由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，故|a＋b－c|≤1.答案B6．已知非零向量a、b满足|a|＝|b|，若函数f(x)＝x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，则〈a，b〉的取值范围是()A.B.C.D.解析 f(x)＝x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，∴f′(x)＝0有两不相等的实根， f′(x)＝x2＋2|a|x＋2a·b，∴x2＋2|a|x＋2a·b＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a|2－8a·b＞0，即a·b＜|a|2， cos〈a，b〉＝，|a|＝|b|，∴cos〈a，b〉＜＝， 0≤〈a，b≤〉π，∴＜〈a，b≤〉π.答案D7．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是()．A.P1P2·P1P3B.P1P2·P1P4C.P1P2·P1P5D.P1P2·P1P6解析由于P1P2⊥P1P5，故其数量积是0，可排除C；P1P2与P1P6的夹角是，故其数量积小于零，可排除D；设正六边形的边长是a，则P1P2·P1P3＝|P1P2||P1P3|cos30°＝a2，P1P2·P1P4＝|P1P2||P1P4|cos60°＝a2.答案A二、填空题8．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|等于________．解析 |a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝10－6×cos60°＝7，∴|a－3b|＝.答案9.已知向量,，若，则的值为．解析答案10．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.解析设a与b夹角为θ，由题意知|a|＝1，|b|＝1，θ≠0且θ≠π.由a＋b与向量ka－b垂直，得(a＋b)·(ka－b)＝0，即k|a|2＋(k－1)|a||b|cosθ－|b|2＝0，(k－1)(1＋cosθ)＝0.又1＋cosθ≠0，∴k－1＝0，k＝1.答案111．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．解析由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke＋e1e2－2ke1e2－2e＝0，即k＋cos－2kcos－2＝0,化简可求得k＝.答案12．在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(＋)·的值为________．解析：||2＝||2＋||2＝8，||＝||，＋＝2，(＋)·＝2·＝||2＝4.答案：4三、解答题13．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．解析：(1) a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.∴|a|cosθ＝＝＝－＝－.14．如图所示，AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)．(1)若BC∥DA，求x与y之间的关系式；(2)在(1)条件下，若AC⊥BD，求x，y的值及四边形ABCD的面积．解析(1) AD＝AB＋BC＋CD＝(x＋4，y－2)，DA＝－AD＝(－x－4,2－y)．又BC∥DA且BC＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.①(2)由于AC＝AB＋BC＝(x＋6，y＋1)，BD＝BC＋CD＝(x－2，y－3)，又AC⊥BD，∴AC·BD＝0.即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，②联立①②化简，得y2－2y－3＝0，∴y＝3或y＝－1.故当y＝3时，x＝－6，此时AC＝(0,4)，BD＝(－8,0)，∴SABCD＝|AC...
