5.2平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b＝()A．(6,3)B．(－2，－6)C．(2,1)D．(7,2)解析：2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．答案：B2．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()．A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线解析由题意得a＋b＝(x－x,1＋x2)＝(0,1＋x2)，易知a＋b平行于y轴．答案C3．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝()．A．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)解析由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)⇒m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．答案C4.设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|AB|＝2|AP|，则点P的坐标为()A．(3,1)B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1)D．无数多个解析设P(x，y)，则由|AB|＝2|AP|，得AB＝2AP或AB＝－2AP，AB＝(2,2)，AP＝(x－2，y)，即(2,2)＝2(x－2，y)，x＝3，y＝1，P(3,1)，或(2,2)＝－2(x－2，y)，x＝1，y＝－1，P(1，－1)．答案C5.若向量AB�=（1,2），BC�=（3,4），则AC�=()A（4,6）B(-4，-6)C(-2，-2)D(2,2)答案A解析因为AC�=AB�+BC�=,所以选A.6．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为()．A．[－2,2]B．[－2,3]C．[－3,2]D．[－3,3]解析因为a⊥b，所以a·b＝0，所以2x＋3y＝z，不等式|x|＋|y|≤1可转化为由图可得其对应的可行域为边长为，以点(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x＋3y＝z过点(0，－1)时z有最小值－3，当过点(0,1)时z有最大值3.所以z的取值范围为[－3,3]．答案D7．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是()．A．[－6,1]B．[4,8]C．(∞－，1]D．[－1,6]解析由a＝2b，得由λ2－m＝cos2α＋2sinα＝2－(sinα－1)2，得－2≤λ2－m≤2，又λ＝2m－2，则－2≤4(m－1)2－m≤2，∴≤解得m≤2，而＝＝2－，故－6≤≤1，即选A.答案A二、填空题8.设a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.解析 λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)与c＝(－4，－7)共线，∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0，解得λ＝2.答案29．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．解析AB＝(a－2，－2)，AC＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.答案10．设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．解析设a＝λb(λ＜0)，则|a|＝|λ||b|，∴|λ|＝，又|b|＝，|a|＝2.∴|λ|＝2，∴λ＝－2.∴a＝λb＝－2(2,1)＝(－4，－2)．答案(－4，－2)11．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.又因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得所以答案－12．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．解析由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形．设D(x，y)，则有AB＝DC，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)．答案(0，－2)三、解答题13．已知点A(－1,2)，B(2,8)以及AC＝AB，DA＝－BA，求点C，D的坐标和CD的坐标．解析设点C，D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由题意得AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)，DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)．因为AC＝AB，DA＝－BA，所以有和解得和所以点C，D的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD＝(－2，－4)．14．已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)．(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2)若＝2，求点C的坐标．解析：(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)， A、B、C三点共线，∴∥.∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b...
