4.3三角函数的图像与性质一、选择题1．函数f(x)＝2sinxcosx是()．A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数解析f(x)＝2sinxcosx＝sin2x.∴f(x)是最小正周期为π的奇函数．答案C2.已知ω>0，0，直线4x和45x是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=()A.B.C.D.解析因为4x和45x是函数图像中相邻的对称轴，所以，即答案A3．函数f(x)＝(1＋tanx)cosx的最小正周期为()．A．2πB.C．πD.解析依题意，得f(x)＝cosx＋sinx＝2sin.故最小正周期为2π.答案A4．函数y＝sin在区间上()A．单调递增且有最大值B．单调递增但无最大值C．单调递减且有最大值D．单调递减但无最大值解析≤由－x≤≤－，得－x≤，则函数y＝sin在区间上是增函数，又⊆，所以函数在上是增函数，且有最大值，故选A.答案A5．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是()．A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间上是增函数C．函数f(x)的图像关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数解析 y＝sin＝－cosx，∴T＝2π，在上是增函数，图像关于y轴对称，为偶函数．答案D6．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()．A．[－1,1]B.C.D.解析(数形结合法)y＝sin2x＋sinx－1，令sinx＝t，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.答案C【点评】本题采用换元法转化为关于新元的二次函数问题，再用数形结合来解决，但换元后注意新元的范围.7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数解析： f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝， 当x＝时，f(x)有最大值，∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ， －π＜φ≤π，∴φ＝.∴f(x)＝2sin，由此函数图像易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数．答案：A二、填空题8．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，则f的值为________．解析：f＝f＝f＝sin＝.答案：9．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为________．解析(回顾检验法)据已知可得f(x)＝2sin，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．答案【点评】本题根据条件直接求出θ的值，应将θ再代入已知函数式检验一下.10．函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.解析(构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f(x)＝1＋，f(x)－1为奇函数，则m－1＝－(M－1)，所以M＋m＝2.答案2【点评】整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解.11．关于函数f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；③y＝f(x)的图像关于点对称；④y＝f(x)的图像关于直线x＝－对称．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．解析函数f(x)＝4sin的最小正周期T＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是＝知①错．利用诱导公式得f(x)＝4cos＝4cos＝4cos，知②正确．由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－代入得f(x)＝4sin＝4sin0＝0，因此点是f(x)图像的一个对称中心，故命题③正确．曲线f(x)的对称轴必经过图像的最高点或最低点，且与y轴平行，而x＝－时y＝0，点不是最高点也不是最低点，故直线x＝－不是图像的对称轴，因此命题④不正确．...
