第三章导数及其应用§3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课时目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为________________，简记作：.①平均速度；②曲线割线的斜率.瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即_______________＝①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率.2．导数的概念：一般地，函数y=f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝____________，我们称它为函数y=f(x)在x＝x0处的，记为或即f′(x0)＝一、选择题1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A．在[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化率D．以上都不对2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则等于()A．4B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D．4x3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A．1B．－1C．2D．－24．设f(x)在x＝x0处可导，则等于()A．－f′(x0)B．f′(－x0)C．f′(x0)D．2f′(x0)5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是()A．3B．－3C．2D．－26．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是()A．at0B．－at0C.at0D．2at0题号123456答案二、填空题7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．8．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．三、解答题10．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．能力提升12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s＝s(t)描述，设Δt为时间改变量，在t0＋Δt这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度，即＝＝.2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率；0.→0.第三章导数及其应用§3.1变化率与导数3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念答案知识梳理1．lim2．lim导数f′(x0)y′|x＝x0lim作业设计1．A2．B[∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2×12＋1＝4Δx＋2(Δx)2，∴＝＝4＋2Δx.]3．B[＝＝＝－1.]4．A[lim＝lim－＝－lim＝－f′(x0)．]5．B[∵＝＝－Δx－3，∴lim＝－3.]6．A[∵＝＝aΔt＋at0，∴lim＝at0.]7．0.418．1解析由平均变化率的几何意义知k＝＝1.9．4＋Δt4解析在[1,1＋Δt]内的平均加速度为＝＝Δt＋4，t＝1时的瞬时加速度是lim＝lim(Δt＋4)＝4.10．解函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为：＝＝－6.函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：＝＝4.11．解∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－＝＝，∴＝，∴lim＝lim＝＝－，∴y′|x＝1＝f′(1)＝－.12．2解析由导数的定义，得f′(0)＝lim＝lim＝lim[a·(Δx)＋b]＝b.又，∴ac≥，∴c>0.∴≥≥＝＝2.13．解运动方程为s＝at2.因为Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，所以＝at0＋aΔt.所以0＝lim＝at0.由题意知，a＝5×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，所以at0＝8×102＝800(m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.
