2.3函数的奇偶性与周期性一、选择题1．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于()．A．3B．1C．－1D．－3解析由f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.则b＝－1，f(x)＝2x＋2x－1，f(－1)＝－f(1)＝－3.答案D2．已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为()．A．－1B．0C．1D．2解析(构造法)构造函数f(x)＝sinx，则有f(x＋2)＝sin＝－sinx＝－f(x)，所以f(x)＝sinx是一个满足条件的函数，所以f(6)＝sin3π＝0，故选B.答案B【点评】根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法.3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的任意不恒为零的函数，则下列判断：①f(|x|)为偶函数；②f(x)＋f(－x)为非奇非偶函数；③f(x)－f(－x)为奇函数；④[f(x)]2为偶函数．其中正确判断的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析对于①，用－x代替x，得f(|－x|)＝f(|x|)，所以①正确；对于②，用－x代替x，得f(－x)＋f(x)＝f(x)＋f(－x)，所以②错误；对于③，用－x代替x，得f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]，所以③正确；易知④错误．答案B4．已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝4x－1，则f(－5.5)的值为()A．2B．－1C．－D．1解析f(－5.5)＝f(－5.5＋6)＝f(0.5)＝40.5－1＝1.答案D5.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f(2011)＋f(2012)＝()A．3B．2C．1D．0解析：由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2011)＋f(2012)＝f(670×3＋1)＋f(671×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图像可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2011)＋f(2012)＝1＋2＝3.答案：A6．设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝()A．10B.C．－10D．－解析]由f(x＋6)＝－＝f(x)知该函数为周期函数，周期为6，所以f(107.5)＝f＝f，又f(x)为偶函数，则f＝f＝－＝－＝.答案：B7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f()＋f()的值为()A．－1B．1C．0D．无法计算解析由题意得g(－x)＝f(－x－1)，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f()＝f(1)，f()＝f(3)＝f(－1)，又 f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f()＋f()＝0.答案：C二、填空题8．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.解析 f(x＋5)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，故f(3)－f(4)＝(－2)－(－1)＝－1.答案－19．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．解析由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案(－2,0)∪(2,5)10．设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f的所有x之和为________．解析 f(x)是偶函数，f(2x)＝f，∴f(|2x|)＝f，又 f(x)在(0∞，＋)上为单调函数，∴|2x|＝，即2x＝或2x＝－，整理得2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋1＝0，设方程2x2＋7x－1＝0的两根为x1，x2，方程2x2＋9x＋1＝0的两根为x3，x4.则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－＋＝－8.答案－811．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2013)＝________.解析法一当x＝1，y＝0时，f(0)＝；当x＝1，y＝1时，f(2)＝－；当x＝2，y＝1时，f(3)＝－；当x＝2，y＝2时，f(4)＝－；当x＝3，y＝2时，f(5)＝；当x＝3，y＝3时，f(6)＝；当x＝4，y＝3时，f(7)＝；当x＝4，y＝4时，f(8)…＝－；.∴f(x)是以6为周期的函数，∴f(2013)＝f(3＋335×6)＝f(3)＝－.法二 f(1)＝，4f(x)·f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，∴构造符合题意的函数f(x)＝cosx，∴f(2013)...
