1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1．已知命题p：函数f(x)＝x－logx在区间内存在零点，命题q：存在负数x使得x>x.给出下列四个命题：①p或q；②p且q；③p的否定；④q的否定．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析命题p为假命题，命题q也为假命题．利用真值表判断．答案B2.已知命题p：存在n∈N,2n>1000，则非p为()A．任意n∈N,2n≤1000B．任意n∈N,2n>1000C．存在n∈N,2n≤1000D．存在n∈N,2n<1000解析：特称命题的否定是全称命题，即p：存在x∈M，p(x)，则非p：任意x∈M，非p(x)．答案：A3．ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是()．A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0解析(筛选法)当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，故选C.答案C4．已知p：x2－2x－3≥0，q：x∈Z.若p且q，非q同时为假命题，则满足条件的x的集合为()A．{x|x≤－1或x≥3，x∉Z}B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}C．{x|x＜－1或x>3，x∉Z}D．{x|－1＜x＜3，x∈Z}解析p：x≥3或x≤－1，q：x∈Z，则由p且q，非q同时为假命题知，p假q真，所以x满足－13x”“的否定是任意x∈R，x2＋1<3x”；②已知p、q“为两个命题，若p或q”“为假命题，则非p且非q”为真命题；③“a>2”“是a>5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是()A．①②③B．②④C．②D．④“解析：命题存在x∈R，x2＋1>3x”“的否定是任意x∈R，x2＋1≤3x”，故①“错；p或q”为假命题说明p和q都假，则非p且非q为真命题，故②对；a>5⇒a>2，但a>2a>5，故“a>2”“是a>5”的必要不充分条件，故③错；“若xy＝0，则x＝0且y＝0”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．答案：C6．下列命题错误的是()．A“．命题若m＞0，则方程x2＋x－m＝0”“有实数根的逆否命题为：若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”B“．x＝1”“是x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0，则非p：任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0解析依次判断各选项，易知只有C“”是错误的，因为用逻辑联结词且联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．答案C7．已知p：存在x∈R，mx2＋2≤0.q：任意x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围是()．A．[1∞，＋)B．(∞－，－1]C．(∞－，－2]D．[－1,1]解析(直接法) p或q为假命题，∴p和q都是假命题．由p：存在x∈R，mx2＋2≤0为假，得任意x∈R，mx2＋2＞0，∴m≥0.①由q：任意x∈R，x2－2mx＋1＞0为假，得存在x∈R，x2－2mx＋1≤0，∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②由①和②得m≥1.答案A【点评】本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法.二、填空题8“．用含有逻辑联结词的命题表示命题xy＝0”的否定是________．解析方法1：记命题p1：x＝0，p2：y＝0，则命题xy＝0即命题p1∨p2，其否定是(非p1)且(非p2)，非p1：x≠0，非p2：y≠0，故命题xy＝0“的否定是x≠0且y≠0”．方法2：xy＝0的否定即xy≠0“，即x≠0且y≠0”．答案x≠0且y≠09．已知命题p：f(x)＝在区间(0∞，＋)上是减函数；命题q：不等式(x－1)2>m的解集为R.“若命题p或q”“为真，命题p且q”为假，则实数m的取值范围是________．解析由f(x)＝在区间(0∞，＋)上是减函数，得1－2m>0，即m<，由不等式(x－1)2>m的解集为R，得m<0.“要保证命题p∨q”“为真，命题p且q”为假，则需要两个命题中只有一个正确，而另一个不正确，故0≤m<.答案0≤m<10．令p(x)：ax2＋2x＋a＞0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________．解析 对任意x∈R，p(x)是真命题．∴对任意x∈R，ax2＋2x＋a＞0恒成立，当a＝0时，不等式为2x＞0不恒成立，当a≠0时，若不等式恒成立，则∴a＞1.答案a＞111“．命题对任意x>1，x2>1”的否定是________．“解析：这是一个全称命题，其否定是存在x...
