7.4基本不等式一、填空题1．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．解析 x＞0，y＞0且1≥＝＋2，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．答案32．已知p＝a＋，q＝x2－2，其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系为________．解析p＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4.当a－2＝，即a＝3时取等号，q＝x2－2≤4，∴p≥q.答案p≥q3．若x，y是正数，则2＋2的最小值是________．解析由2＋2≥x2＋＋y2＋＋2≥2＋2＋2＝4.当且仅当x＝y＝时取等号．答案44．已知0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列不等式：①log2a＞0；②2a－b＜；③2＋＜；④log2a＋log2b＜－2，其中正确的是________．解析由0＜a＜b，且a＋b＝1，得0＜a＜＜b＜1，所以log2a＜0.易得a－b＞－1，所以2a－b＞，由＋＞2，得2＋＞4，由1＝a＋b＞2(a≠b)，得ab＜，所以log2a＋log2b＝log2ab＜－2，仅④正确．答案④5“．在等式1”＝＋两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是________．解析设括号内填入的两个正整数为x，y，则有＋＝1，于是x＋y＝(x＋y)＝10≥＋＋10＋2＝16，当且仅当y2＝9x2，即x＝4，y＝12时等号成立．此时x＋y取最小值16.故应填4和12.答案4和126．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为________．解析由a7＝a6＋2a5，得a5q2＝a5q＋2a5，又a5≠0，q＞0，所以q2＝q＋2，解为q＝2.于是由＝4a1，得m＋n＝6，所以＋＝(m＋n)≥＝(5＋4)＝，当且仅当n＝2m，即m＝2，n＝4时等号成立，故min＝.答案7．函数y＝loga(x－1)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx＋n的图象上，其中mn＞0，则＋的最小值为________．解析y＝mx＋n过定点(2,1)，所以2m＋n＝1，所以＋＝(2m＋n)＝4≥＋＋4＋2＝8.答案88．若不等式|2a－1|≤对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．≥解析因为2，所以|2a－1|≤2≤，解得－a≤.答案9．已知0＜x＜，则函数y＝5x(3－4x)的最大值为________．解析因为0＜x＜，所以－x＞0，所以y＝5x(3－4x)＝20x≤202＝，当且仅当x＝－x，即x＝时等号成立．答案10．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0∞，＋)，则＋的最小值为________．解析由题可得a＞0，c＞0，且Δ＝22－4ac＝0即ac＝1.所以a＋c≥2＝2，当且仅当a＝c＝1时取等号．所以＋＝ac×＝a2＋c2＋a＋c＝(a＋c)2＋(a＋c)－2，当且仅当a＝c＝1时，min＝22＋2－2＝4.答案411．若不等式4x2＋9y2≥2kxy对一切正数x，y恒成立，则整数k的最大值为________．解析由4x2＋9x2≥2kxy(x＞0，y＞0)，得2k≤＋.≥因为＋2＝12，所以2k≤12，所以k≤3，即kmax＝3.答案312．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，在D内任意x1，x2…，，xn，都有≤f.若y＝sinx在(0，π)是凸函数，可以推出在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．≤解析f＝f，所以(sinA＋sinB＋sinC)≤，所以sinA＋sinB＋sinC≤，即最大值为.答案13．不等式a2＋3b2≥λb(a＋b)对任意a，b∈R恒成立，则实数λ的最大值为________．解析因为要求λ的最大值，所以只需要考察b(a＋b)＞0的情况，假设b(a＋b)＞0，所以由a2＋3b2≥λb(a＋b)，得λ≤＝，不妨令＝t＞0，不妨令h(t)＝＝＝(t＋1)＋－2≥2－2＝2，当t＝1时取等号．故λ的最大值为2.答案2二、解答题14．对于任意x∈R，不等式2x2－a＋3>0恒成立，求实数a的取值范围．解析原不等式可化为a<＝＝2＋恒成立．问题转化为求f(x)＝2＋的最小值．令u≥＝1而函数f(u)＝2u＋在[1∞，＋)上单调递增，所以f(u)≥f(1)＝2＋1＝3，所以f(x)min＝3，故a<3.15．扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x(米)，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y(米)．(1)求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？(3)当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)？求此时外周长的值．解析(1)9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·＝BC＋x...
