6.2等差数列及其前n项和一、填空题1.已知{}为等差数列,且则公差d等于________.解析解得.答案2．在等差数列{an}中，a1＞0，S4＝S9，则Sn取最大值时，n＝________.解析因为a1＞0，S4＝S9，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，所以a7＝0，所以从而当n＝6或7时Sn取最大值．答案6或73．等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a6＋a7＝________.解析因为2a4＝a3＋a5，所以3a4＝12，即a4＝4，所以a1＋a2＋…＋a6＋a7＝7a4＝28.答案284．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若1≤a5≤4,2≤a6≤3，则S6的取值范围是________．解析设an＝a1＋(n－1)d，则由解所以S6＝6a1＋15d＝15(a1＋4d)－9(a1＋5d)∈[－12,42]．答案[－12,42]5．若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为________．解析S11＝＝＝＝22.答案226.等差数列{}前9项的和等于前4项的和.若则k=.解析由题意得.∴即.又∴k=10.答案107．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋pn，a7＝11.若ak＋ak＋1＞12，则正整数k的最小值为________．解析因为a7＝S7－S6＝2×72＋7p－2×62－6p＝26＋p＝11，所以p＝－15，Sn＝2n2－15n，an＝Sn－Sn－1＝4n－17(n≥2)，当n＝1时也满足．于是由ak＋ak＋1＝8k－30＞12，得k＞＞5.又k∈N*，所以k≥6，即kmin＝6.答案68．数列{an}是等差数列，若＜－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝________.解析由题意，可知数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以公差小于零，故a11＜a10，又因为＜－1，所以a10＞0，a11＜－a10，由等差数列的性质有a11＋a10＝a1＋a20＜0，a10＋a10＝a1＋a19＞0，所以Sn取得最小正值时n＝19.答案199．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1＝1，＝4，则的值为________．解析由等差数列的性质可知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，由＝4得＝3，则S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝.答案10．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，且＝，则＝________.解析＝＝＝＝＝.答案11．已知函数f(x)＝2x，等差数列{an}的公差为2.若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝________.解析依题意a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝2，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝2－5×2＝－8，∴f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)＝2a1＋a2＋…＋a10＝2－6⇒log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝－6.答案－612．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，a2＝2，b1＝2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i＋j＝k＋l时，都有ai＋bj＝ak＋bl，则(ai＋bi)的值是________．解析由题意得a1＋b2010＝a2＋b2009＝a3＋b2008＝…＝a2009＋b2＝a2010＋b1.所以ai＋bi)＝2010(a1＋b2010)故ai＋bi)＝×2010(a1＋b2010)＝a1＋b2010.下面求b2010.令i＝1，j＝n，k＝2，l＝n－1，即a1＋bn＝a2＋bn－1，则bn－bn－1＝a2－a1＝1，所以{an}是以b1＝2为首项，以d＝1为公差的等差数列，所以b2010＝2＋(2010－1)＝2011.所以a1＋b2010＝1＋2011＝2012.答案201213．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式an＝________.解析由an＋1＝f(2n＋1)＝2f(2n)＋2nf(2)＝2an＋2n＋1，得＝＋1，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝n，an＝n·2n.答案n·2n二、解答题14．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．思路分析第(1)问建立首项a1与公差d的方程组求解；第(2)问建立首项a1与公差d的方程，利用完全平方公式求范围．解析(1)由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0，故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－2或d≥2.【点评】方程思想在数列中常常用到，如求通项an及Sn时，一般要建立首项a1与公差d(或公比q)的方程组．15.已知曲线C:xy-4x+4=0,数列{}的首项且当时,点恒在曲线C上,且试判断数列{}是否是等差数列?并说明理由.解析 当时,点恒在曲线C上,∴.由得:...
