5.4平面向量的应用一、填空题1.如图,在△ABC中,AD⊥AB,等于________.解析答案32．在△ABC中，若BC＝a，CA＝b，AB＝c且a·b＝b·c＝c·a,则△ABC的形状是____________．解析由a·b＝b·c＝c·a，a＋b＋c＝0，得AB＝BC＝CA，所以△ABC为等边三角形．答案等边三角形3．设O为坐标原点，A(1，1)，若点B(x，y)满足则OA·OB的最大值是________．解析OA·OB＝(1,1)·(x，y)＝x＋y，当B取点A时，(x＋y)max＝2.答案24．已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足AP·OA≤0，BP·OB≥0，则OP·AB的最小值为________．解析由已知得AP·OA＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，且BP·OB＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，即x≤1，且y≥2，所以OP·AB＝(x，y)·(－1,2)＝－x＋2y≥－1＋4＝3.答案35．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，则AO·BC＝________.解析AO·BC＝AO·(AC－AB)＝AO·AC－AO·AB，因为OA＝OB，所以AO在AB上的投影为|AB|，所以AO·AB＝|AB|·|AB|＝2，同理AO·AC＝|AC|·|AC|＝，故AO·BC＝－2＝.答案6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D，E分别为AB，BC的中点，且AB·CD＝BC·AE，则a2，b2，c2成________数列．解析由AB·CD＝BC·AE，得(CB－CA)·(CB＋CA)＝(AC－AB)·(AC＋AB)，即CB2－CA2＝AC2－AB2，所以a2－b2＝b2－c2，所以a2，b2，c2成等差数列．答案等差7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若AB·AC＝BA·BC＝1，那么c＝________.解析由题知AB·AC＋BA·BC＝2，即AB·AC－AB·BC＝AB·(AC＋CB)＝AB2＝2⇒c＝|AB|＝.答案8．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点，若点C在∠AOB的平分线上，且|OC|＝，则点C的坐标是________．解析设C(x，y)，则x2＋y2＝10，且C在∠AOB平分线上，＝，∴＝，推出y＝3x.给合点的位置关系，取x＝－1，y＝－3，即(－1，－3)．答案(－1，－3)9．已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，则PA·PB的最小值为________．解析设|PA|＝|PB|＝t，∠APB＝θ，则cos＝，cosθ＝，PA·PB＝t2·＝＝t2＋1＋－3≥2－3.当且仅当t2＋1＝，即t2＝－1时等号成立，所以PA·PB的最小值为2－3.答案2－310．设OM＝，ON＝(0,1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足0≤OP·OM≤1,0≤OP·ON≤1，则z＝y－x的最小值是________．解析因为所以可行域如图所示，所以当直线y－x＝z经过点A(1,0)时，zmin＝－1.答案－111．在△ABC中，C＝，AC＝1，BC＝2，则f(λ)＝|2λCA＋(1－λ)CB|的最小值是________．解析如图，以C为原点，CA，CB所在直线为y轴，x轴建立直角坐标系，所以CA＝(0,1)，CB＝(2,0)，故2λCA＋(1－λ)CB＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f(λ)＝2＝2，故最小值为，在λ＝时取得．答案12．下列命题中：①若|a·b|＝|a|·|b|，则a∥b；②a＝(－1,1)在b＝(3,4)方向上的投影为；③若△ABC中，a＝5，b＝8，c＝7，则BC·CA＝20；④若非零向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则|2b|>|a＋2b|.真命题的序号是________．解析①由|a·b|＝|a|·|b||cosθ|＝|a||b|，cosθ＝±1，θ＝0或π，所以a∥b，①正确．②a在b上的投影为＝，②正确．③BC·CA＝－abcosC＝－(a2＋b2－c2)＝－(52＋82－72)＝－20，③不正确．④由|a＋b|＝|b|，得(a＋b)2＝b2，即a2＋2a·b＝0，所以a2＋4a·b＝2a·b＝－a2<0，所以4b2>a2＋4a·b＋4b2＝(a＋2b)2，即|2b|>|a＋2b|，即④正确．答案①②④13．直线l与函数y＝sinx(x∈[0，π])的图象相切于点A，且l∥OP，O为坐标原点，P为图象的极值点，l与x轴交于B点，过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则BA·BC＝________.解析由条件，P为，设切点A(x0，y0)，即A(x0，sinx0)，直线OP斜率为，切线斜率为(sinx)′|x＝x0＝cosx0＝，∴切线方程为：y－sinx0＝(x－x0)，令y＝0，x＝x0－，从而B，C为(x0,0)，从而BA＝，BC＝.则BA·BC＝sin2x0＝(1－cos2x0)＝＝－1.答案－1二、解答题14．已知在锐角△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，定义向量m＝(sinB，－)，n＝，且m∥n.(1)求函数f(x)＝sin2xcosB－cos2xsinB的单调递减区间；(2)若b＝1，求△...
