5.3平面向量的数量积一、填空题1.已知向量a和向量b的夹角为30°,|a|=2,|b|=3,则a·b=.解析考查数量积的运算.a·b=2×=3.答案32．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．解析 b·(a－b)＝0，∴a·b＝b2，即|a||b|·cosθ＝|b|2，当b≠0时，∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ∈(0,1]．所以|b|∈[0,1]．答案[0,1]3．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b等于________．解析a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋e1·e2＋2e＝－6＋cos＋2＝－4＋＝－.答案－4．已知平面向量a，b的夹角为60°，a＝(，1)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.解析由a＝(，1)，得|a|＝2，所以|a＋2b|＝＝＝＝＝2.答案25．在△ABC中，已知BC＝2，AB·AC＝1，则△ABC的面积S△ABC最大值是________．解析以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)．设A(x，y)则AB＝(－1－x，－y)，AC＝(1－x，－y)，于是AB·AC＝(－1－x)(1－x)＋(－y)(－y)＝x2－1＋y2.由条件AB·AC＝1知x2＋y2＝2，这表明点A在以原点为圆心，为半径的圆上．当OA⊥BC时，△ABC面积最大，即S△ABC＝×2×＝.6.已知,是夹角为的两个单位向量,a=-2,b=k+,若a·b=0,则实数k的值为.解析由a·b=0得（-2）·（k+）=0.整理,得k-2+（1-2k）cos=0,解得k=.答案7．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝BD，|AD|＝1，则AC·AD＝________.解析法一建系如图所示．令B(xB,0)，C(xC，yC)，D(0,1)，所以BC＝(xC－xB，yC)，BD＝(－xB,1)，BC＝BD，所以所以xC＝(1－)xB，yC＝.AC＝((1－)xB，)，AD＝(0,1)，则AC·AD＝.法二AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝BC·AD＝AD·BD，其中AD·BD＝|AD||BD|cos∠ADB＝|AD||BD|·＝AD2＝1.故AD·BD＝.答案8．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足CM＝CB＋CA，则MA·MB＝________.解析建立直角坐标，由题意，设C(0,0)，A(2，0)，B(，3)，则M，MA·MB＝·＝－2.答案－29．已知向量p的模是，向量q的模为1，p与q的夹角为，a＝3p＋2q，b＝p－q，则以a，b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是________．解析|a－b|＝|3p＋2q－p＋q|＝|2p＋3q|＝＝＝＝.答案10．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点．若点C在∠AOB的平分线上，且|OC|＝，则点C的坐标是________．解析法一：设点C的坐标是(x，y)，且x<0，y<0，直线OB方程为y＝x，因点C在∠AOB的平分线上，所以点C到直线OB与y轴的距离相等，从而＝|x|.又x2＋y2＝10，解之得所以点C的坐标是(－1，－3)．法二：设点C的坐标是(x，y)，且x<0，y<0，则因点C在∠AOB的平分线上，所以由cos〈OC，OA〉＝cos〈OC，OB〉得＝.又x2＋y2＝10，解之得所以点C的坐标是(－1，－3)．答案(－1，－3)11．已知O是△ABC的内部一点，OA＋OB＋OC＝0，AB·AC＝2，且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为________．解析由AB·AC＝|AB||AC|cos60°＝2，得|AB||AC|＝4，S△ABC＝|AB||AC|sin60°＝，由OA＋OB＋OC＝0知，O是△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝.答案12．已知点G是△ABC的重心，AG＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，若∠A＝120°，AB·AC＝－2，则|AG|的最小值是________．解析设AG交BC于D，则由G是△ABC的重心，得D是BC的中点，所以AG＝AD＝·(AB＋AC)＝(AB＋AC)，所以|AG|2＝(AB＋AC)2＝(|AB|2＋|AC|2－4)，又由－2＝AB·AC＝|AB||AC|cos120°，得|AB||AC|＝4，故当|AB|＝|AC|＝2时，|AG|取最小值.答案13．已知△ABC所在平面上的动点M满足2AM·BC＝AC2－AB2，则M点的轨迹过△ABC的________心．解析如图，设N是BC的中点，则由2AM·BC＝(AC－AB)·(AC＋AB)＝BC·2AN，得(AM－AN)·BC＝0，即NM·BC＝0，所以NM⊥BC，所以M点的轨迹过△ABC的外心．答案外心二、解答题14．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，|a－b|＝2.(1)求a·b的值；(2)求|a＋b|的值．解析(1)因为|a－b|＝2，所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4＋1－2a·b＝4.所以a·b＝.(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×＋1＝6.故|a＋b|＝.15．已知|a|＝，|b|＝3，a与b夹角为45°，求使向量a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围．解析由条件知，cos...
