5.2平面向量的基本定理及坐标表示一、填空题1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量ab等于_______.解析2).答案(-1,2)2．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.解析由a＋b＝(1，m－1)与c＝(－1,2)平行，得2＋m－1＝0，所以m＝－1.答案－13．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为________．解析设D(x，y)，则由BC＝2AD，得(4,3)＝2(x，y－2)，得解得答案4．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积，若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)满足p∥q，则C＝________.解析由p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)且p∥q，得4S＝a2＋b2－c2，即2abcosC＝4S＝2absinC，所以tanC＝1.又0＜C＜π，所以C＝.答案5．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2,3)，若AB＝3a，则点B的坐标为________．解析OA＝(－1，－5)，AB＝3a＝(6,9)，故OB＝OA＋AB＝(5,4)，故点B坐标为(5,4)．答案(5,4)6．已知a＝(1,2)，b＝(－1,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ＝________.解析由a－λb＝(1＋λ，2－λ)与a＝(1,2)垂直，得1＋λ＋2(2－λ)＝0，解得λ＝5.答案57.设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量a+b与向量c=(-4,-7)共线,则.解析a+b 向量a+b与向量c=(-4,-7)共线,∴即.答案28．在△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，向量m＝(1，)与n＝(cosA，sinA)平行，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.解析由m与n平行，得cosA－sinA＝0，所以tanA＝，A＝.又由acosB＋bcosA＝csinC，得sinC＝1，C＝，所以B＝.答案9．如图，在四边形ABCD中，AB＝2AD＝1，AC＝，且∠CAB＝，∠BAD＝，设AC＝λAB＋μAD，则λ＋μ＝______.解析建立直角坐标系如图，则由AC＝λAB＋μAB，得(，0)＝λ＋μ，即解得λ＝μ＝2，所以λ＋μ＝4.答案410．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且AC＝2CB，则实数a＝________.解析设C(x，y)，则AC＝(x－7，y－1)，CB＝(1－x,4－y)， AC＝2CB，∴解得∴C(3,3)．又 C在直线y＝ax上，∴3＝a·3，∴a＝2.答案211．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.又因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得所以答案－12.设0≤θ<2π，已知两个向量OP1＝，OP2＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P1P2长度的最大值是________．解析P1P2＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，|P1P2|＝≤＝3.答案313．如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设AP＝αAB＋βAF(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．解析不妨以点A为原点，AD所在直线为x轴，建立直角坐标系，结合正六边形的特殊结构，当点P在CE上时β＝3，当P在D点时，α＋β＝4.答案[3,4]二、解答题14.已知三点A(1,1),B(3,-1),C(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系式;(2)若求点C的坐标.解析(1) A(1,1),B(3,-1),C(a,b),∴1),又 A,B,C三点共线,∴∥∴2(b-1)-(a-1).(2)若则(a-1,b-1)=2(2,-2)∴点C的坐标为(5,-3).15．已知点A(－1,2)，B(2,8)以及AC＝AB，DA＝－BA，求点C，D的坐标和CD的坐标．解析设点C，D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由题意得AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)，DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)．因为AC＝AB，DA＝－BA，所以有和解得和所以点C，D的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD＝(－2，－4)．16．如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，OP＝x·OA＋y·OB.(1)若BP＝PA，求x，y的值；(2)若BP＝3PA，|OA|＝4，|OB|＝2，且OA与OB的夹角为60°时，求OP·AB的值．解析(1)因为BP＝PA，所以BO＋OP＝PO＋OA，即2OP＝OB＋OA，所以OP＝OA＋OB，所以x＝，y＝.(2)因为BP＝3PA，所以BO＋OP＝3PO＋3OA，即OP＝OA＋OB，所以x＝，y＝.故OP·AB＝·(OB－OA)＝OB·OB－OA·OA＋OA·OB＝×22－×42＋×4×2×＝－9.17．已知a＝ksinθ·e1＋(2－cosθ)·e2，b＝e1＋e2，且a∥b，e1，e2分别是x轴与y轴上的单位向量，θ...
