4.9解三角形应用举例一、填空题1.海上有三个小岛,其中两个小岛A,B相距10海里,从A岛望B岛和C岛成60视角,从B岛望C岛和A岛成75视角,则B,C间距离是_______．解析180-60-75=45,根据正弦定理.答案海里2.从A处望B处的仰角为从B处望A处的俯角为则、的关系为______．解析根据仰角和俯角的定义可知.答案3．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)．答案104．某人向正东方向走xkm后，他向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为________．解析如图，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝32＋x2－2×3x×cos30°，即x2－3x＋6＝0，解得x1＝，x2＝2，经检测均合题意．答案或25．如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，则AB的长为________．解析在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a.②在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝＝a.答案a6．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝CD，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝________.解析由A作垂线AH⊥BC于H.因为S△ADC＝DA·DC·sin60°＝×2×DC·＝3－，所以DC＝2(－1)，又因为AH⊥BC，∠ADH＝60°，所以DH＝ADcos60°＝1，∴HC＝2(－1)－DH＝2－3.又BD＝CD，∴BD＝－1，∴BH＝BD＋DH＝.又AH＝ADsin60°＝，所以在Rt△ABH中AH＝BH，∴∠BAH＝45°.又在Rt△AHC中tan∠HAC＝＝＝2－，所以∠HAC＝15°.又∠BAC＝∠BAH＋∠CAH＝60°，故所求角为60°.答案60°7．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．解析在△BCD中，CD＝10(米)，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10(米)．在Rt△ABC中，tan60°＝，AB＝BCtan60°＝10(米)．答案108．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是________米．解析如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，＝，∴AO＝(米)．答案9．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)________．解析AB＝1000×1000×＝(m)，∴BC＝·sin30°＝(m)．∴航线离山顶h＝×sin75°≈11.4(km)．∴山高为18－11.4＝6.6(km)．答案6.6km10．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，进行10m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.解析由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴＝.∴x＝(m)．答案m11．如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件__________________时，该船没有触礁危险．I解析由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°－β)＝＞n，所以当α与β的关系满足mcosαcosβ＞nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．答案mcosαcosβ＞nsin(α－β)12．...
