4.6二倍角的三角函数一、填空题1．已知α∈，sinα＝，则tan2α＝____.解析由α∈，sinα＝，得cosα＝－，tanα＝－，所以tan2α＝＝－.答案－2．计算1－2sin222.5°的值为________．解析原式＝cos45°＝.答案3．已知α是第一象限的角，且cosα＝，则的值为________．解析∵α是第一象限的角，cosα＝，∴sinα＝.∴＝＝＝＝＝－.答案－4．函数f(x)＝cos2x＋2sinx的最大值与最小值的和为________．解析f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋，所以当sinx＝时，f(x)max＝；当sinx＝－1时，f(x)min＝－3.所以f(x)max＋f(x)min＝－.答案－5．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为________．解析sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－1＝－.答案－6．若函数f(x)＝sin(x＋α)－2cos(x－α)是偶函数，则cos2α＝________.解析∵f(x)＝(cosα－2sinα)sinx＋(sinα－2cosα)cosx，故cosα－2sinα＝0，cosα＝2sinα，∴cos2α＋sin2α＝5sin2α＝1，即sin2α＝，cos2α＝1－2sin2α＝.答案7．已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，则cos2α＝________.解析由sin2α＝4sin2β，tan2α＝9tan2β相除，得9cos2α＝4cos2β，所以sin2α＋9cos2α＝4sin2β＋4cos2β＝4，所以cos2α＝，cos2α＝2cos2－1＝－.答案－8．若锐角α、β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝______.解析∵(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，∴1＋(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，即tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)．∴tan(α＋β)＝＝＝.又∵0<α＋β<π，∴α＋β＝.答案9．函数y＝sinx＋cosx，x∈的值域是________．解析∵y＝sinx＋cosx＝2sin.又∵≤x≤π，∴≤x＋≤.结合正弦函数的图象与性质得：－≤sin≤1.∴－≤2sin≤2.答案[－，2]10．函数y＝sinxcosx－sin2x的最小正周期为________，最大值为________．解析y＝sin2x－＝sin2x＋cos2x－＝sin－.所以T＝π，f(x)max＝1－＝.答案π11．函数f(x)＝1－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的值域为________．解析f(x)＝1－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)＝1－2sin2x＋4cos2xsin2x＝1－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2因为sin2x∈[－1,1]，所以f(x)∈[0,4]．答案[0,4]12．已知＝1，tan(β－α)＝－，则tan(β－2α)等于________．解析由＝1得＝1，∴tanα＝，从而tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝＝＝－1.答案－113．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点，若点C在∠AOB的平分线上，且|OC|＝，则点C的坐标是________．解析如图，α＋2β＝90°，sinα＝，cosα＝，所以sin(90°－2β)＝.即cos2β＝，从而2cos2β－1＝，cosβ＝，sinβ＝.所以tan(α＋β)＝＝＝3.所以直线OC的方程为y＝3x，于是由＝＝，且x＜0，得x＝－1，y＝－3，C(－1，－3)．答案(－1，－3)二、解答题14.利用三角公式化简：．解析原式110cos80sin10cos40sin40cos2．15．已知sinx＋cosx＝－(135°
