4.5两角和与差的正弦、余弦和正切一、填空题1.设f(tanx)=tan2x,则f(2)等于________.解析∵f(tanx)=tan∴.答案2．已知cos＝，则sin2α的值为________．解析方法1：sin2α＝cos＝2cos2－1＝－.方法2：cos＝cosα＋sinα＝.两边平方得，＋sin2α＝，∴sin2α＝－.答案－3．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝________.解析由cosαcosβ－sinαsinβ＝，cosαcosβ＋sinαsinβ＝，解得cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，所以tanαtanβ＝.答案4．已知向量a＝，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin＝________.解析a·b＝4sin＋4cosα－＝2sinα＋6cosα－＝4sin－＝0，所以sin＝.所以sin＝－sin＝－.答案－5.已知为第三象限的角,cos则tan.解析∵为第三象限的角,2k+Z,∴4k+2+3Z).又cos∴sintan.∴tan.答案6．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为________．解析tan(A＋B)＝－tanC＝－tan120°＝，所以tan(A＋B)＝＝，即＝.解得tanAtanB＝.答案7．已知0＜α＜，＜β＜π，且cosα＝，sinβ＝，则β－α的值为________．解析因为0＜α＜，＜β＜π，所以0＜β－α＜π，又cosα＝，sinβ＝，所以sinα＝，cosβ＝－，所以cos(β－α)＝，所以β－α＝.答案8．已知tanα＝，tanβ＝，且α，β∈(0，π)，则α＋2β＝________.解析tan2β＝＝＝，所以tan(α＋2β)＝＝＝1.∵tanα＝＜1，α∈(0，π)，∴α∈，同理β∈，∴α＋2β∈，所以α＋2β＝.答案9．若sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)的值为________．解析由sinα－sinβ＝1－得：sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝1－＋＝－.①由cosα－cosβ＝得：cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝.②①＋②得1＋1－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝2－，即2cos(α－β)＝，所以cos(α－β)＝.答案10．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，若f＝，则f＝________.解析因为2sin＝，所以sin＝，所以可取φ＝－，则f(x)＝2sin，f＝2sin＝2sin＝2sin＝2×＝.答案11．实数x，y满足tanx＝x，tany＝y，且|x|≠|y|，则－＝________.解析因为tanx＝x，tany＝y，所以－＝－＝cosxcosy－cosxcosy＝0.答案012．已知A、B均为钝角且sinA＝，sinB＝，则A＋B的值为________．解析A、B均为钝角且sinA＝，sinB＝，得cosA＝－＝－＝－，cosB＝－＝－＝－，所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－×－×＝，又因为＜A＜π，＜B＜π，所以π＜A＋B＜2π，故A＋B＝.答案13．若1，∴y＝tan2xtan3x＝＝＝＝≤＝－8.答案－8二、解答题14.已知函数f(x)=sinx+sinR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的最大值和最小值;(3)若求sin的值.解析f(x)=sinx+sin=sinx+cossin(1)f(x)的最小正周期为;(2)f(x)的最大值为最小值为;(3)因为即sincos所以1+2sincos即2sincos即sin.15．A，B，C是△ABC的内角，向量m＝，n＝满足|m＋n|＝.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝sinA，试判断△ABC的形状．解析(1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3，即1＋1＋2＝3，所以cosA＝，又0＜A＜π，所以A＝.(2)因为sinB＋sinC＝sinA，所以sinB＋sin＝×，即sinB＋cosB＝，sin＝，又0＜B＜，所以B＋＝或，所以B＝或.因此B＝时，C＝；B＝时，C＝.故△ABC为直角三角形．16．已知向量a＝(m，sin2x)，b＝(cos2x，n)，x∈R，f(x)＝a·b，若函数f(x)的图象经过点(0,1)和.(1)求m，n的值；(2)求f(x)的最小正周期，并求f(x)在x∈上的最小值；(3)若f＝，α∈时，求tan的值．解析(1)f(x)＝mcos2x＋nsin2x，因为f(0)＝1，所以m＝1.又f＝1，所以n＝1.故m＝1，n＝1.(2)f(x)＝cos2x＋sin2x＝sin，所以f(x)的最小正周期为π.因为x∈，所以2x＋∈，所以当x＝0或x＝时，f(x)取最小值1.(3)因为f＝，所以cosα＋sinα＝，即sin＝，又α∈，故α＋∈，所以cos＝，所以tan＝＝.17．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(，)，若a·b＝，且＜x＜.(1)求cos和tan的值；(2)求的值．解析(1)因为a·b＝，所以cosx＋sinx＝，即cos＝.又＜x＜，所以0＜x－＜，所以sin＝，tan＝.(2)因为sin2x＝cos＝2cos2－1＝，所以＝sin2x·tan＝－.18．在△ABC中，A、B、C为三个内角，f(B)＝4cosB·sin2＋cos2B－2cosB.(1)若f(B)＝2，求角B；(2)若f(B)－m＞2恒成立，求实数m的取值范围．解析(1)f(B)＝4cosB×＋cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋cos2B－2cosB＝2cosBsinB＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝2sin.∵f(B)＝2，∴2sin＝2，∴2B＋＝.∵0＜B＜π，∴B＝.(2)f(B)－m＞2恒成立，即2sin＞2＋m恒成立．∵0＜B＜π，∴2sin∈[－2,2]，∴2＋m＜－2.∴m＜－4.
