4.3三角函数的图象和性质一、填空题1．函数y＝sin2x的最小正周期T＝________.解析由周期公式得T＝＝＝π.答案π2．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为________．解析y＝sin2x＋sinx－1，令sinx＝t，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.答案3．若函数y＝f(x)的图象和y＝sin的图象关于点M对称，则f(x)的表达式是________．解析设f(x)上任一点(a，b)，则(a，b)关于点M的对称点为且点在y＝sin上，所以－b＝sin⇒b＝sin＝－cos，∴y＝－cos.答案f(x)＝－cos4．y＝sin的图象的对称中心是________．解析∵y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋(k∈Z)，对称中心为.答案，k∈Z5．若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.解析由于f(x)＝sinωx图象过原点，由已知条件画图象可知，为该函数的四分之一周期，所以＝，ω＝.答案6．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f的值为________．解析由已知得：f＝f＝f＝f＝sin＝.答案7．已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|，x∈R为奇函数，则a＝________.解析f(x)是奇函数，且x＝0有意义，故f(0)＝0，得a＝0.答案08.函数y=-cos的单调递增区间是.解析函数y=cos递减时原函数递增,∴有2k+Z,∴4kZ.∴y=-cos的单调递增区间是[4kZ.答案[4kZ9．若将函数y＝sin(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则ω的最小值为________．解析由f＝sin＝sin是奇函数，得ω的最小正值为.答案10．函数f(x)＝cos(0＜φ＜2π)，在区间(－π，π)上单调递增，则实数φ的取值范围为________．解析由2kπ－π≤＋φ≤2kπ(k∈Z)及已知条件，得π≤＋φ≤2π，即3(π－φ)≤x≤3(2π－φ)．所以解得≤φ≤.答案11．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)．若f＝0，f＝2，则实数ω的最小值为________．解析由得f(x)的最小正周期T≤4×＝，即≤(ω＞0)，所以ω≥3.从而ωmin＝3.答案312．定义运算＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝向左平移m个单位(m＞0)，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是________．解析f(x)＝cosx＋sinx＝2sin，于是由f(x＋m)＝2sin是偶函数，得m＋＝kπ＋，k∈Z，又m＞0，所以m的最小值为.答案13．设函数y＝sinx(0≤x≤π)的图象为曲线C，动点A(x，y)在曲线C上，过A且平行于x轴的直线交曲线C于点B(A、B可以重合)，设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)在[0，]上单调________，在上单调________．解析设A(x，y0)，则B点坐标为(π－x，y0)，故f(x)＝AB＝|π－2x|，作出函数f(x)的图象如图，易得答案．答案递减递增二、解答题14.已知函数f(x)=tan.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)设若cos求的大小.解析(1)由Z,得Z,所以f(x)的定义域为{R|Z}.f(x)的最小正周期为.(2)由cos得tan2coscossin整理得cossincossin.因为所以sincos.因此(cossin即sin.由得.所以即.15．已知f(x)＝sinx＋sin.(1)若α∈[0，π]，且sin2α＝，求f(α)的值；(2)若x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．解析(1)由题设知f(α)＝sinα＋cosα.∵sin2α＝＝2sinα·cosα＞0，α∈[0，π]，∴α∈，sinα＋cosα＞0.由(sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα＝，得sinα＋cosα＝，∴f(α)＝.(2)由(1)知f(x)＝sin，又0≤x≤π，∴f(x)的单调递增区间为.16．已知函数f(x)＝sin－a，其中a是常数，且x＝是函数的一个零点．(1)求函数的最小正周期；(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．解析(1)由f(x)＝sin－a，得T＝2π.(2)因为x＝是函数y＝f(x)的一个零点，所以f＝0，即a＝1.因为x∈[0，π]，所以x－∈，所以sin∈，所以f(x)值域为[－2,－1]．17．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为π.且f＝.(1)求ω，φ的值；(2)若f＝－(0＜α＜π)，求cos2α的值．解析(1)由函数的周期为π，可知＝π，所以ω＝2.又由f＝，得2sin＝，所以cosφ＝.又φ∈(0，π)，所以φ＝.(2)由f＝－，得sin＝－.因为α∈(0，π)，所以α＋∈.又sin＝－＜0，所以α＋∈，所以cos＝－.所以cos2α＝sin＝2sincos＝.18．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)是偶函数，在[0，π]上单调减，且图象关于点对称，求ω与φ的值．解析因为f(x)＝2sin(ωx＋φ)是偶函数，且0＜φ＜π，所以φ＝.所以f(x)＝2sin＝2cosωx.因为f(x)＝2cosωx的图象关于点对称，所以f＝2cos＝0，＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝2k＋1，k∈Z.又因为f(x)＝2cosωx在[0，π]上单调减，所以≥π；所以0＜ω≤1，因此ω＝1.
