4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、填空题1．已知cos(π＋x)＝，x∈(π，2π)，则tanx＝________.解析由cos(π＋x)＝－cosx＝，得cosx＝－＜0，所以x∈.此时sinx＝－，故tanx＝.答案2.已知f(cosx)=cos2x,则f(sin75)=.解析∵sin75=sin(90-15)=cos15,∴f(sin75)=f(cos15)=cos)=cos30.答案3．设tan(5π＋α)＝m，则的值为________．解析∵＝＝＝＝＝，又tan(5π＋α)＝m，∴tan(π＋α)＝m，tanα＝m，∴原式＝.答案4．若tanα＝2，则的值是________．解析原式分子与分母同除以cosα得：＝＝－.答案－5．已知cos＝，则sin＝________.解析sin＝sin＝－sin＝－cos＝－.答案－6．已知cos(π－α)＝，α∈，则tanα＝________.解析cos(π－α)＝－cosα＝，即cosα＝－.又α∈，∴sinα＜0.所以sinα＝－＝－.故tanα＝＝.答案7．已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值是________．解析1－2sinαcosα＝(sinα－cosα)2＝，又∵＜α＜，sinα＞cosα.∴cosα－sinα＝－.答案－8．若x∈，则2tanx＋tan的最小值为________．解析因为x∈，所以tanx>0.所以2tanx＋tan＝2tanx＋≥2，所以2tanx＋tan的最小值为2.答案29．已知sinx＋siny＝，则siny－cos2x的最大值为________．解析因为sinx＋siny＝，所以siny＝－sinx.又－1≤siny≤1，所以－1≤－sinx≤1，得－≤sinx≤1.因此，siny－cos2x＝－sinx－(1－sin2x)＝－－sinx＋sin2x＝2－，所以当sinx＝－时，siny－cos2x取最大值.答案10．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.解析sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋sin2(90°－1°)＝sin21°＋sin22°＋…＋2＋…＋cos22°＋cos21°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋＝44＋＝.答案11．已知2tanα·sinα＝3，－＜α＜0，则cos的值是________．解析依题意得＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0，解得cosα＝或cosα＝－2(舍去)．又－＜α＜0，因此α＝－，故cos＝cos＝cos＝0.答案012．设α∈，sinα＋cosα＝，则tanα＝________.解析将sinα＋cosα＝，①两端平方得：sinαcosα＝，②由①②得：或又因为0＜α＜，所以sinα＜cosα，所以，故tanα＝.答案13.化简:.解析原式tantansinx.答案sinx二、解答题14．化简：(1)；(2)sin120°·cos330°＋sin(－690°)·cos(－660°)＋tan675°＋.解析(1)原式＝＝－＝－1.(2)原式＝sin(180°－60°)·cos(360°－30°)＋sin(720°－690°)·cos(720°－660°)＋tan(720°－45°)＋＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＋tan(－45°)＋1＝1.15.设f(cosx)=cos5x.求:(1)f(cos;;(3)f(sinx).解析(1)在原式中,令得f(coscos=cos(cos.(2)∵cos∴在原函数式中,令得coscoscos(2cos.(3)∵sinx=cos∴用代原函数式中的x,得f(sinx)=f[coscos=cos=cos=sin5x.16．已知0＜α＜，若cosα－sinα＝－，试求的值．解析因为cosα－sinα＝－，所以1－2sinα·cosα＝.所以2sinα·cosα＝，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋＝.因为0＜α＜，所以sinα＋cosα＝.由cosα－sinα＝－，sinα＋cosα＝得sinα＝，cosα＝，∴tanα＝2，∴＝＝－.17．已知函数f(x)＝cos＋cosx.(1)若x∈[0，π]，求f(x)的值域；(2)若x∈，且sin2x＝，求f(x)的值．解析(1)f(x)＝sinx＋cosx＝sin.因为x∈[0，π]，所以x＋∈，所以－≤sin≤1，所以f(x)的值域为[－1，]．(2)因为[f(x)]2＝(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx＝1＋sin2x＝，且f(x)＞0，所以f(x)＝.18．已知－＜x＜0，sinx＋cosx＝.(1)求sinx－cosx的值；(2)求的值．思路分析(思路一)：由已知条件与平方关系联立方程组求解；(思路二)：先求sinx－cosx再与已知条件联立方程组求解．解析(1)法一联立方程，得由①得sinx＝－将其代入②，整理得25cos2x－5cosx－12＝0.因为－＜x＜0，所以所以sinx－cosx＝－.法二由sinx＋cosx＝，得(sinx＋cosx)2＝2，即1＋2sinxcosx＝，所以2sinxcosx＝－.因为(sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋＝①且－＜x＜0，所以sinx＜0，cosx＞0，所以sinx－cosx＜0.②由①②可知，sinx－cosx＝－.(2)由已知条件及(1)可知解得所以tanx＝－.所以＝＝＝＝.【点评】要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要构造方程来解决，在平时的学习中应该不断积累用方程的思想解题的方法.
