3.3用导数研究函数的最值一、填空题1．函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3,0]上的最大值，最小值分别为________．解析f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1，f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(0)＝1.比较可得f(x)max＝f(－1)＝3，f(x)min＝f(－3)＝－17.答案3，－172．已知a≤＋lnx对于x∈恒成立，则a的最大值为________．解析设f(x)＝＋lnx，则f′(x)＝＋＝，当x∈时，f′(x)<0，故函数f(x)在上单调递减；当x∈(1,2]时，f′(x)>0，故函数f(x)在(1,2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0.答案03．函数f(x)＝－x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________．解析由f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(∞－，－1)上递减，在(－1,1)上递增，在(1，＋∞)上递减．故函数在(a,10－a2)上存在最大值的条件为答案[－2,1)4．若函数f(x)＝(a＞0)在[1∞，＋)上的最大值为，则a的值为________．答案－15．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1,2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2－x－2＝0，解得x＝1或－，f(－1)＝，f＝，f(1)＝，f(2)＝7.∴m＜.答案m＜6．已知函数f(x)＝x－sinx，若x1，x2∈且x1＜x2，则f(x1)，f(x2)的大小关系是________．解析f′(x)＝1－cosx≥0，所以f(x)在上单调递增，所以f(x1)＜f(x2)．答案f(x1)＜f(x2)7．若函数在f(x)＝－x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围为________．解析 f(x)＝－x3＋x(x∈R)，则f′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，∴f(x)在(∞－，－1)，(1∞，＋)上单调递减，在(－1,1)单调递增，由题意知，当x＝1时，f(x)取得最大值，1∈(a,10－a2)．即∴－3＜a＜1.答案(－3,1)8．曲线f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b，c∈R)通过点P(0,2a2＋8)，在点Q(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，则的最小值为________．解析由已知曲线f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b，c∈R)通过点P(0,2a2＋8)知c＝2a2＋8.又知其在点Q(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，∴f′(－1)＝0，即－2a＋b＝0.∴＝＝a＋. a＞0，∴＝a≥＋4，即的最小值为4.答案49．已知函数f(x)的图象过点(0，－5)，它的导数f′(x)＝4x3－4x，则当f(x)取得极大值－5时，x的值应为________．解析易知f(x)＝x4－2x2－5，f′(x)＝0时，x＝0或x＝±1，只有f(0)＝－5.答案010．已知a为实数，函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)．若f′(－1)＝0，则函数y＝f(x)在上的最大值和最小值分别为________．解析 f′(－1)＝0，∴3－2a＋1＝0，即a＝2.∴f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3(x＋1)．由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞－；由f′(x)＜0，得－1＜x＜－.因此，函数f(x)的单调递增区间为，，单调递减区间为.∴f(x)在x＝－1处取得极大值为f(－1)＝2；f(x)在x＝－处取得极小值为f＝.又 f＝，f(1)＝6，且＞，∴f(x)在上的最大值为f(1)＝6，最小值为f＝.答案611．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．解析f′(x)＝ex－2.当x＜ln2时，f′(x)＜0；当x＞ln2时，f′(x)＞0.∴f(x)min＝f(ln2)＝2－2ln2＋a，则函数有零点，即f(x)min≤0.∴2－2ln2＋a≤0，∴a≤2ln2－2.答案(∞－，2ln2－2]12．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．解析求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x.由此可得f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴对m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴对n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.于是，f(m)＋f′(n)的最小值为－13.答案－1313．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m≥－－9，解得m≥.答案m≥二、解答题14．求函数f(x)＝x3＋x2－2x＋在区间[－3,...
