3.2用导数研究函数的单调性与极值一、填空题1．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由题意知f′(x)＝0有两个不等的实根，由Δ＝(6a)2－4×3×3(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)2．已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2＋2)＜f(3x)，则实数x的取值范围是________．解析由f(x)＝lnx＋2x，得f′(x)＝＋2xln2＞0，x∈(0，＋∞)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x2＋2)＜f(3x)，得0＜x2＋2＜3x，所以x∈(1,2)．答案(1,2)3．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．解析由题意，得y′＝3x2＋2x＋m≥0解集为R，所以Δ＝4－12m≤0，解得m≥.答案4．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.由f′(x)＞0得x＜0或x＞2，由f′(x)＜0得0＜x＜2，所以f(x)在x＝2处取得极小值．答案25．已知函数f(x)＝－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在实数集R上是增函数，则实数m的取值范围是________．解析f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，依题意，知f′(x)在R上恒大于或等于0，所以Δ＝4(m2－6m＋8)≤0得2≤m≤4.答案[2,4]6．已知函数f(x)＝x2－cosx，x∈，则满足f(x0)＞f的x0的取值范围为________．解析f(x)是偶函数，且由f′(x)＝2x＋sinx≥0，知f(x)在上单调递增，所以由f(x0)＞f，得f(|x0|)＞f，从而＜|x0|≤，解得－≤x0＜－或＜x≤.答案∪7．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝________.解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋3，又f(x)在x＝－3时取得极值，∴f′(－3)＝30－6a＝0，则a＝5.答案58．已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，导函数为f′(x)＝x2＋2cosx且f(0)＝0，则满足f(1＋x)＋f(x2－x)＞0的实数x的集合是________．解析因为当x∈(－2,2)时，f′(x)≥0且为偶函数，所以f(x)是奇函数且在(－2,2)上单调增，于是由f(1＋x)＞－f(x2－x)＝f(x－x2)，得－2＜x－x2＜1＋x＜2，解得－1＜x＜1.答案(－1,1)9．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．解析由题意，x＝1是f′(x)＝12x2－2ax－2b的一个零点，所以12－2a－2b＝0，即a＋b＝6(a＞0，b＞0)，因此ab≤2＝2＝9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．答案910．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是________．解析由y′＝aeax＋3＝0，得x＝ln，所以－＞0，a＜0，又因为有正根，所以必有得a＜－3.答案(－∞，－3)11．已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，则a的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2－6ax＋3＝3[(x－a)2＋1－a2]．当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当1－a2＜0时，f′(x)＝0有两个根x1＝a－，x2＝a＋.由题意，知2＜a－＜3，①或2＜a＋＜3，②①无解，②的解为＜a＜，因此a的取值范围为.答案12．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)内有极小值点的个数为________．解析f′(x)图象与x轴的交点从左至右第1个与第4个是极大值点，第2个是极小值点，x＝0不是极值点．答案1个13．定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，已知y＝f′(x)的图象如图所示，若两个正数a，b满足f(2a＋b)＜1，则的取值范围是________．解析当x∈[0，＋∞)时，f′(x)≥0，所以f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，于是由f(2a＋b)＜f(4)，得它表示的平面区域如图所示(不包括边界)，所以＝kPA＜＜kPB＝5.答案二、解答题14．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间；解析(1)由函数f(x)的图象过点P(1,2)，得f(1)＝2，所以a＋b＝1.①因为函数图象在点P处的切线斜率为8，所以f′(1)＝8，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以2a＋b＝5.②解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.(2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3，令f′(x)＞0，可得x＜－3或x＞；令f′(x)＜0，可得－3＜x＜，故函数f(x)的单调增区间为(－∞，...
