2.10函数与方程一、填空题1．已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.解析设f(x)＝2x＋x－10，则由f(2)＝－4＜0，f(3)＝1＞0，所以f(x)的零点在(2,3)内．答案22．已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足________(与零的关系)．解析因为f(x)是(0∞，＋)上的增函数，且f(a)＝0，于是由0＜x0＜a，得f(x0)＜f(a)＝0，即f(x0)＜0.答案f(x0)＜03．若函数f(x)＝ax＋b的零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．解析由f(x)＝ax＋b有零点2，得2a＋b＝0(a≠0)，代入g(x)，得g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，它有零点x＝0和x＝－.答案0，－4．设函数y(x)＝x－lnx(x＞0)，则函数f(x)在区间(0,1)，(1∞，＋)内的零点个数分别为________．解析设y＝x与y＝lnx，作图象可知f(x)在区间(0,1)内无零点，在(1∞，＋)内仅有两个零点．答案0,25．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．解析 f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系知∴∴f(x)＝x2－x－6. 不等式af(－2x)＞0，即－(4x2＋2x－6)＞0⇔2x2＋x－3＜0，解集为.答案6.已知函数有且只有一个零点,则实数m的值为.解析由题知:方程只有一个零点.令∴方程只有一个正根.∴由图象(图略)可知∴m=-2.答案-27．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．解析画出图象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即f(x)与y＝m的图象的交点有3个，∴0＜m＜1.答案(0,1)8．偶函数f(x)在区间为[0，a](a＞0)上是单调，函数，且f(0)·f(a)＜0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是________．解析由f(0)·f(a)＜0，且f(x)在[0，a](a＞0)上单调，知f(x)＝0在[0，a]上有一根，又函数f(x)为偶函数，f(x)＝0在[－a,0]上也有一根．所以f(x)＝0在区间[－a，a]内有两个根．答案29．设函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a.若存在x0∈R，使得f(x0)＜0与g(x0)＜0同时成立，则实数a的取值范围是________．解析g(x)＝ax－2a＝a(x－2)，当a＜0时，x＞2，由f(2)＜0，得4－2a＋a＋3＜0，a＞7，舍去；当a＞0时，x＜2，由f(2)＜0，得4－2a＋a＋3＜0，a＞7.综上，a∈(7∞，＋)．答案(7∞，＋)10.若二次函数中ac<0,则函数的零点个数是______个．解析令因判别式故函数必有两个零点.答案211．已知函数f(x)＝1＋x…－＋－＋＋，g(x)＝1－x…＋－＋－－，设F(x)＝f(x＋3)·g(x－3)，且函数F(x)的零点均在区间[a，b](a＜b，a，b∈Z)内，则b－a的最小值为________．解析由f′(x)＝1－x＋x2－x3…＋＋x2010＝，则f′(x)＞0，f(x)为增函数，又f(0)＝1＞0，f(－1)＜0，从而f(x)的零点在(－1,0)上；同理g(x)为减函数，零点在(1,2)上，∴F(x)的零点在(－4，－3)和(4,5)上，要区间[a，b]包含上述区间(b－a)min＝9.答案912．若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)“”的一个友好点对(点对(P，Q)与(Q，P)“”看作同一个友好点对)．已知函数f(x)＝则f(x)“”的友好点对有________个．“”解析根据题意：友好点对，可知，只须作出函数y＝2x2＋4x＋1(x＜0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y＝(x≥0)交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2.即f(x)“”的友好点对有：2个．答案213．已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是________．解析因为Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0对一切k∈R恒成立，又k＝－1时，f(x)的零点x＝－1∉(2,3)，故要使函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)·f(3)＜0，即2＜k＜3.答案(2,3)二、解答题14．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．解析(1)当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．(2)当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．15．关于x的方程mx2＋2(m＋3...
