2.6指数与指数函数一、填空题1．函数y＝的定义域是________．解析由8－4x≥0，得22x≤23，所以2x≤3，x≤.答案2．函数y＝的值域是________．解析由4－2－x≥0，且2－x＞0，得0≤4－2x＜4，所以y∈[0,2)．答案[0,2)3．已知p：关于x的不等式|x－1|＋|x－3|＜m有解，q：f(x)＝(7－3m)x为减函数，则p成立是q成立的________条件．解析p成立，得m＞|x－1＋3－x|＝2；q成立，得0＜7－3m＜1，即2＜m＜.设A＝{m|m＞2}，B＝，则BA，所以p是q的必要不充分的条件．答案必要不充分4.与函数的图象关于直线y=x对称的曲线C对应的函数为g(x),则的值为______.解析依题意得g(x)=log所以log.答案-15．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2010)＝________.解析当x＞0时，f(2010)＝f(2009)－f(2008)＝f(2008)－f(2007)－f(2008)＝－f(2007)＝f(2005)－f(2006)＝f(2005)－f(2005)＋f(2004)＝f(2004)，所以f(x)是以T＝6的周期函数，所以f(2010)＝f(335×6)＝f(0)＝3－1＝.答案6．已知函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则g(0)，g(2)，g(3)的大小关系是________．解析因为f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以由f(－x)－g(－x)＝e－x，得－f(x)－g(x)＝e－x，与f(x)－g(x)＝ex联立，求得f(x)＝(ex－e－x)，g(x)＝－(ex＋e－x)，所以g(3)＜g(2)＜g(0)．答案g(3)＜g(2)＜g(0)7．已知1＋2x＋4x·a＞0对一切x∈(∞－，1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析由题意，得a＞－x－x对x≤1恒成立，因为f(x)＝－x－x是(∞－，1]上的增函数，所以当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－，所以a＞－.答案8．设函数f(x)＝，若f(x)是奇函数，则g(2)的值是________．解析因为f(x)是奇函数，所以g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2－2＝－.答案－9．已知函数f(x)＝那么不等式f(x)≥1的解集为________．解析若x＞0，则由log3x≥1，得x≥3.若x≤0，则由x≥1，得x≤0.综上，得x≤0或x≥3.答案(∞－，0]∪[3∞，＋)10．若2|x＋1|－|x－1|≥2，则x取值范围是________．解析由2|x＋1|－|x－1|≥2＝2，得|x＋1|－|x－1|≥，于是由或或解得x≥.答案11．已知函数f(x)＝9x－m·3x＋m＋1对x∈(0∞，＋)的图象恒在x轴上方，则m的取值范围是________．解析设t＝3x＞1问题转化为m＜，t∈(1∞，＋)，即m比函数y＝，t∈(1∞，＋)的最小值还小，又y＝＝t－1＋＋2≥2＋2＝2＋2，所以m＜2＋2.答案(∞－，2＋2)12．对于函数f(x)＝ex－e－x(x∈R)，有下列结论：①f(x)的值域是R；②f(x)是R上的增函数；③对任意x∈R，有f(－x)＋f(x)＝0成立；④若方程|f(x)|＝a有两个相异实根，则a≥0，其中所有正确的命题序号是________．解析因为e＞1，x∈R，所以f(x)是奇函数且在(∞∞－，＋)上单调递增，所以①②③均正确．设y＝|f(x)|＝|ex－e－x|，y＝a，画出其图象可知，当a＞0时，它们有两个相异交点，所以④不正确．答案①②③13．设函数f(x)在其定义域(∞∞－，＋)上的取值恒不为0，且对任意实数x，y满足f(xy)＝[f(x)]y，f＞1.若a＞b＞c且a，b，c成等差数列，则f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系是________．解析因为f(x)＝f＝2x＝x是增函数，于是由f(a)＋f(c)≥2[f(a)·f(c)]＝2[f(a)][f(c)]＝2f·f＝2a·c＝2a＋c＝22b＝2f(b)，及a＞b＞c得f(a)＋f(c)＞2f(b)．答案f(a)＋f(c)＞2f(b)二、解答题14.已知函数,其中常数a,b满足.(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时的x的取值范围.解析(1)当a>0,b>0时,因为、都随x的增大而增大,所以函数f(x)单调递增;当a<0,b<0时,因为、都随x的增大而减小,所以函数f(x)单调递减.(2)f(x.(ⅰ)当a<0,b>0时解得x>log;(ⅱ)当a>0,b<0时解得x
0，且a≠1)有两解，求a的取值范围．解析原方程有两解，即直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，数形结合．当a>1时，如图①，只有一个公共点，不符合题意．当0
