2.5二次函数一、填空题1．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.解析由题意，y＝|x＋a|是偶函数，所以a＝0.答案02．设函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(∞－，4)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．解析a＝0显然成立．a≠0时，二次函数对称轴为x＝－，所以a＜0≥且－4≤，解得－a＜0≤，综上，得－a≤0.答案3.若有负值,则实数a的取值范围是_______．解析 有负值,∴.∴a>2或a<-2.答案a>2或a<-24．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式是________．解析由f(0)＝1可设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，代入f(x＋1)－f(x)＝2x可得2ax＋a＋b＝2x，所以a＝1，a＋b＝0，从而b＝－1，f(x)＝x2－x＋1.答案f(x)＝x2－x＋15．a＝________时，函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]，值域为[－2,2]．解析f(x)＝(x－a)2＋a－a2.当a＜－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，所以⇒a＝－1(舍去)；当－1≤a≤0时，⇒a＝－1；当0＜a≤1时，⇒a不存在；当a＞1时，f(x)在[－1,1]上为减函数，所以⇒a不存在．综上可得a＝－1.答案－16．设函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，若当x≤1时，y＝x2＋1，则当x＞1时，y＝________.解析首先作出当x≤1时，y＝x2＋1的图象，如图所示，则关于x＝1与之对称部分仍是抛物线，顶点为(2,1)，于是当x＞1时，y＝(x－2)2＋1，即y＝x2－4x＋5.答案x2－4x＋57．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系如图所示，则每辆客车营运________年，使其营运年平均利润最大．解析由题设y＝a(x－6)2＋11，过点(4,7)，得a＝－1.∴y＝－(x－6)2＋11，则每年平均利润为＝－＋12≤－10＋12，当且仅当x＝5“”时，取＝．答案58．设f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1∞，＋)时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．解析当a≤－1时，f(x)min＝f(－1)＝3＋2a，于是由a≤f(x)min，得a≤3＋2a⇒a≥－3，所以－3≤a≤－1；当a＞－1时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，于是由a≤f(x)min，得a≤2－a2⇒－2≤a≤1，所以，－1＜a≤1.综上，得－3≤a≤1.答案[－3,1]9.函数在区间[-2,+上是增函数,则f(1)的取值范围是______．解析由题知∴.∴f.答案10．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．解析设二次函数的解析式为：f(x)＝a2＋49(a≠0)，方程a2＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝2＝7.∴a＝－4，故f(x)＝－4x2－12x＋40.答案f(x)＝－4x2－12x＋4011．由方程2x|x|－y＝1所确定的x，y的函数关系记为y＝f(x)．给出如下结论：①f(x)是R上的单调递增函数；②对于任意x∈R，f(x)＋f(－x)＝－2恒成立；③存在x0∈(－1,0)，使得过点A(1，f(1))，B(x0，f(x0))的直线与曲线y＝f(x)恰有两个公共点．其中正确的结论为________(写出所有正确结论的序号)．解析y＝2x|x|－1的图象如图所示，所以①②显然正确，取x0＝－，则过点A(1,1)，B的直线与曲线y＝f(x)有两个交点．答案①②③12．已知函数f(x)＝|2x－3|，若0＜2a＜b＋1，且f(2a)＝f(b＋3)，则T＝3a2＋b的取值范围为________．解析由0＜2a＜b＋1，且f(2a)＝f(b＋3)，得0＜2a≤≤b＋3，于是由|4a－3|＝|2b＋3|，得3－4a＝2b＋3，所以b＝－2a，∴2a＜－2a＋1，a＜所以T＝3a2＋b＝3a2－2a＝3＝32－.又0＜2a≤，所以0＜a≤，所以T∈.答案13.已知函数且f(1+x)=f(-x),则f(-2)，f(0)，f(2)的大小关系是_______．解析 f(1+x)=f(-x),∴.∴.∴2+b=-b,即b=-1.∴其图象的对称轴为.∴f(0)
