1.3量词与逻辑联结词一、填空题1“．命题∃x∈R，x2＋1＜0”的否定是________．解析存在性命题的否定是全称命题．答案∀x∈R，x2＋1≥02“．命题∀x>0，x2＋x>0”的否定是______________．解析全称命题的否定需要两步，第一步将全称量词改成存在量词，第二步将结论否定．答案∃x>0，x2＋x≤03．命题：∀x∈R，x2≥0的否定是________．解析原命题是全称命题，它的否定是存在性命题．答案∃x∈R，x2＜04.“命题任意偶数是2”的倍数的否定是________．解析因为原命题是全称命题，它的否定是存在性命题.“由于命题任意偶数是2”的倍数是全称命题，故其否定要改写成存在性命题．答案存在偶数不是2的倍数5“．命题∃x∈(1,2)时，满足不等式x2＋mx＋4≥0”是假命题，则m的取值范围________．解析由题意，得不等式x2＋mx＋4＜0在(1,2)恒成立，于是由m＜－x－得m≤－1－4＝－5.答案m≤－56．下列命题：①∃x∈R，lgx＝0；②∃x∈R，tanx＝1；③∀x∈R，x2＞0；④∀x∈R,2x＞0，其中真命题的序号是________．解析①取x＝1，得lgx＝lg1＝0，①正确．②取x＝，得tanx＝tan＝1，②正确．③取x＝0，则x2＝0，③不正确．④由指数函数值域知④正确．答案①②④7．有四个关于三角函数的命题：①∃x∈R，sin2＋cos2＝；②∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；③∀x∈(0，π)，＝sinx；④sinx＝cosy⇒x＋y＝，其中假命题的序号为________．解析①中sin2＋cos2＝1；②中取y＝0，得sin(x－y)＝sinx－siny；③中，由于sinx＞0，所以＝＝sinx；④中sin＝cos，但＋＝π，故②③正确，①④不正确．答案①④8.命题“∀R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是_______．解析全称命题的否定是特称命题,””””全称量词任何改为存在量词存在,并把结论否定.答案∃R,||+||9．给出下列三个命题：①∀x∈R，x2＞0；②∃x∈R，使得x2≤x成立；③对立集合M，N，若x∈M∩N，则x∈M且x∈N.其中真命题的个数是________．解析①取x＝0，得x2＝0，①不正确；②取x＝，得②正确．③正确，故真命题的个数为2.答案210．下列命题：①∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数；②∃x∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数；③∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数；④∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数，其中是真命题的序号是________．解析当m＝0时，函数f(x)＝x2是偶函数．答案①11.下列4个命题中:①存在使不等式成立②不存在使不等式loglog成立③任意的使不等式log成立④任意的使不等式log成立其中的真命题是____．解析:由指数函数与的图象,”知存在使不等式”成立,故①正确;同样由与y=log的图象,”知任意的使不等式log成”立故③正确.答案①③12.给出如下四个命题：①“若p∧q”为假命题，则p、q均为假命题；②“命题若a＞b，则2a＞2b－1”“的否命题为若a≤b，则2a≤2b－1”；③“∀x∈R，x2＋1≥1”“的否定是∃x∈R，x2＋1≤1”；④在△ABC“中，A＞B”“是sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的序号是________．解析①p，q一真一假时，p∧q也为假命题，②正确，③“否定应为∃x∈R，x2＋1＜1”，④在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB．因此①③为假命题，②④为真命题．答案①③13．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题：①∃x∈R，f(x)≤f(x0)；②∃x∈R，f(x)≥f(x0)；③∀x∈R，f(x)≤f(x0)；④∀x∈R，f(x)≥f(x0)，其中正确的序号是________．解析由x0满足方程2ax＋b＝0，得x0＝－.因为a＞0，所以f(x0)＝f是二次函数f(x)的最小值，从而可判定④真命题，③是假命题，由存在x＝x0时，f(x)＝f(x0)，可判断①②是真命题．答案①②④二、解答题14.写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)p:R,方程必有实根;(2)q:R,使得.解析(1)R,使方程无实数根;真命题.(2)R,使得;真命题.15．a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1，证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．解析假设两个方程都没有两个不等的实数根，则Δ1＝1－4b≤0，Δ2＝a2－4c≤0，∴Δ1＋Δ2＝1－4b＋a2－4c≤0. a＝b＋c＋1，∴b＋c＝a－1.∴1－4(a－1)＋a2≤0，即a2－4a＋...
