专题五解析几何第一讲直线与圆（推荐时间：50分钟）一、选择题1．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为()A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝02．(·陕西)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能3．“a＝－1”是“直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．(·重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．5B．10C．15D．205．点P(x，y)满足：x2＋y2－4x－2y＋4≤0，则点P到直线x＋y－1＝0的最短距离是()A.B．0C.－1D.＋16．(·大纲全国)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A．4B．4C．8D．87．(·江西)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()A．(－，)B．(－，0)∪(0，)C．[－，]D．(－∞，－)∪(，＋∞)8．已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，若a与b的夹角为60°，则直线2xcosα－2ysinα＋1＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1的位置关系是()A．相交但不过圆心B．相交且过圆心C．相切D．相离二、填空题9．已知圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为________．10．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为______________．11．(·中山调研)与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是________________．12．已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，一动直线l过点A(－1，0)与圆C相交于P、Q两点，M为PQ中点，l与直线x＋3y＋6＝0相交于点N，则|AM|·|AN|＝________.三、解答题13．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．14．(·长沙模拟)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．答案1．C2．A3．A4．B5．C6．C7．B8．C9．－10．(x－3)2＋y2＝211．(x－1)2＋(y＋1)2＝212．513．解圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C(1，－2)，假设在圆C上存在两点A、B，则圆心C(1，－2)在直线y＝kx－1上，即k＝－1.于是可知kAB＝1.设lAB：y＝x＋b，代入圆C的方程，整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)＞0，b2＋6b－9＜0，解得－3－3＜b＜－3＋3.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－b－1，x1x2＝b2＋2b－2.由OA⊥OB，知x1x2＋y1y2＝0，也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0，解得b＝－4或b＝1，均满足Δ＞0.即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0.14．解(1)将圆C配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得：y＝(2±)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.故切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)由|PO|＝|PM|，得：x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l.∴直线OP的方程为：2x＋y＝0.解方程组得P点坐标为(－，)．
