第三讲直线与圆锥曲线（推荐时间：50分钟）一、选择题1．由椭圆＋y2＝1的左焦点作倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则OA·OB等于()A．0B．1C．－D．－32．设双曲线－＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.B．5C.D.3．经过点(3,0)的直线l与抛物线y＝相交，两个交点处的抛物线的切线相互垂直，则直线l的斜率k等于()A．－B．－C.D．－4．若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A.B.C.D.5．若直线y＝x＋t与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，当t变化时，|AB|的最大值是()A．2B.C.D.6．(n)已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B，则△ABM的周长为()A．4B．8C．12D．167．过双曲线－＝1右焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为()A.B.C．2D.8．已知点F、A分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足FB·AB＝0，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.二、填空题9．斜率为的直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与该抛物线交于A，B两点，则|AB|＝________.10．椭圆C：＋＝1及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)的位置关系是________．11．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积为________．12．(·湖北)如图，双曲线－＝1(a，b>0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e＝________；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.三、解答题13．(·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程．(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．14．(·上海)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积．(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．答案1．C2．D3．A4．A5．C6．B7．B8．D9.10．相交11．612．(1)(2)13．解(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝3b2，∴椭圆方程为＋＝1，即x2＋3y2＝3b2.设椭圆上的点到点Q(0,2)的距离为d，则d＝＝＝＝，∴当y＝－1时，d取得最大值，dmax＝＝3，解得b2＝1，∴a2＝3.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)假设存在点M(m，n)满足题意，则＋n2＝1，即m2＝3－3n2.设圆心到直线l的距离为d′，则d′<1，d′＝＝.∴|AB|＝2＝2.∴S△OAB＝|AB|d′＝·2·＝.∵d′<1，∴m2＋n2>1，∴0<<1，∴1－>0.∴S△OAB＝≤＝，当且仅当＝1－，即m2＋n2＝2>1时，S△OAB取得最大值.由得∴存在点M满足题意，M点坐标为，，或，此时△OAB的面积为.14．(1)解双曲线C1：－y2＝1，左顶点A，渐近线方程：y＝±x.不妨取过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为y＝，即y＝x＋1.解方程组得所以所求三角形的面积为S＝|OA||y|＝.(2)证明设直线PQ的方程是y＝x＋b.因为直线PQ与已知圆相切，故＝1，即b2＝2.由得x2－2bx－b2－1＝0.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.故OP⊥OQ.(3)证明当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx，则直线OM的方程为y＝－x.由得所以|ON|2＝.同理|OM|2＝.设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，所以＝＋＝＝3，即d＝.综上，O到直线MN的距离是定值．
